Номер 416, страница 113 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

416. Точка A лежит на радиусе данной сферы с центром O и делит этот радиус в отношении 1 : 2, считая от центра сферы. Через точку A проведена плоскость α так, что радиус сферы с центром O, касающейся плоскости α, в 6 раз меньше радиуса данной сферы. Найдите: а) угол между прямой OA и плоскостью α; б) отношение площади сечения данной сферы плоскостью α к площади самой сферы.

а) Пусть $R$ — радиус данной сферы с центром в точке $O$. Точка $A$ лежит на некотором радиусе этой сферы и делит его в отношении $1:2$, считая от центра. Это означает, что длина отрезка $OA$ составляет одну треть от длины всего радиуса. Таким образом, $OA = \frac{1}{3}R$.

Через точку $A$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Тогда расстояние от $O$ до плоскости $\alpha$ равно $OH$.

По условию, существует другая сфера с тем же центром $O$, которая касается плоскости $\alpha$. Радиус этой сферы, который мы обозначим как $r$, равен расстоянию от ее центра $O$ до касательной плоскости $\alpha$. Следовательно, $OH = r$.

Также по условию, радиус этой касающейся сферы в 6 раз меньше радиуса данной сферы: $r = \frac{R}{6}$. Значит, $OH = \frac{R}{6}$.

Угол между прямой $OA$ и плоскостью $\alpha$ — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией отрезка $OA$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HA$. Искомый угол — это угол $\angle OAH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OHA$ (где $\angle OHA = 90^\circ$).

В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $OA = \frac{R}{3}$ и катет $OH = \frac{R}{6}$, противолежащий искомому углу. Найдем синус этого угла: $ \sin(\angle OAH) = \frac{OH}{OA} = \frac{\frac{R}{6}}{\frac{R}{3}} = \frac{R}{6} \cdot \frac{3}{R} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б) Площадь поверхности данной сферы ($S_{сф}$) вычисляется по формуле $S_{сф} = 4\pi R^2$.

Сечением данной сферы плоскостью $\alpha$ является круг. Чтобы найти его площадь ($S_{сеч}$), нужно определить радиус этого круга, который мы обозначим $r_{сеч}$. Радиус сечения — это длина отрезка $HA$ в нашем построении, если точка $A$ лежит на окружности сечения. Однако точка $A$ просто лежит в плоскости $\alpha$, а не обязательно на окружности сечения. Радиус сечения — это расстояние от центра сечения (точка $H$) до любой точки на линии пересечения сферы и плоскости.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHK$, где $K$ — любая точка на окружности сечения. $OK$ — это радиус данной сферы ($OK=R$), $OH$ — расстояние от центра сферы до плоскости сечения ($OH = \frac{R}{6}$), а $HK$ — это и есть радиус сечения $r_{сеч}$.

По теореме Пифагора: $ OK^2 = OH^2 + HK^2 $ $ R^2 = \left(\frac{R}{6}\right)^2 + r_{сеч}^2 $ $ r_{сеч}^2 = R^2 - \frac{R^2}{36} = \frac{36R^2 - R^2}{36} = \frac{35R^2}{36} $

Площадь сечения $S_{сеч}$ равна: $ S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2 = \pi \frac{35R^2}{36} $

Теперь найдем отношение площади сечения к площади самой сферы: $ \frac{S_{сеч}}{S_{сф}} = \frac{\pi \frac{35R^2}{36}}{4\pi R^2} = \frac{35\pi R^2}{36 \cdot 4\pi R^2} = \frac{35}{144} $

Ответ: $\frac{35}{144}$.