Номер 423, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

423. В конус высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.

Для решения задачи нам нужно найти площади полных поверхностей конуса и вписанной в него пирамиды, а затем найти их отношение.

1. Найдем параметры и площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi RL$, где $R$ — радиус основания, $L$ — образующая, $H$ — высота.

Высота конуса дана по условию: $H = 12$ см.

Основание пирамиды — прямоугольник — вписано в основание конуса, которое является окружностью. Следовательно, диагональ прямоугольника является диаметром этой окружности. Найдем диагональ $d$ прямоугольника со сторонами $a = 6$ см и $b = 8$ см по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус основания конуса $R$ равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь найдем площадь основания конуса:
$S_{осн. конуса} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см².

Найдем образующую конуса $L$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$:
$L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок. конуса} = \pi RL = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$ см².

Площадь полной поверхности конуса равна:
$S_{конуса} = 25\pi + 65\pi = 90\pi$ см².

2. Найдем площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле $S_{пирамиды} = S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания пирамиды (прямоугольника):
$S_{осн. пирамиды} = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48$ см².

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех треугольников (двух пар равных треугольников). Для нахождения их площадей нам нужны их высоты — апофемы пирамиды.

Найдем апофему $h_a$ для грани с основанием $a=6$ см. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катеты — это высота пирамиды $H=12$ см и половина стороны $b$, т.е. $8/2 = 4$ см.
$h_a = \sqrt{H^2 + (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.

Найдем апофему $h_b$ для грани с основанием $b=8$ см. Катеты — высота пирамиды $H=12$ см и половина стороны $a$, т.е. $6/2 = 3$ см.
$h_b = \sqrt{H^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{12^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности пирамиды:
$S_{бок. пирамиды} = 2 \cdot (\frac{1}{2} a \cdot h_a) + 2 \cdot (\frac{1}{2} b \cdot h_b) = a \cdot h_a + b \cdot h_b$
$S_{бок. пирамиды} = 6 \cdot 4\sqrt{10} + 8 \cdot 3\sqrt{17} = 24\sqrt{10} + 24\sqrt{17} = 24(\sqrt{10} + \sqrt{17})$ см².

Площадь полной поверхности пирамиды равна:
$S_{пирамиды} = S_{осн. пирамиды} + S_{бок. пирамиды} = 48 + 24(\sqrt{10} + \sqrt{17})$ см².

3. Найдем отношение площадей.

Нам нужно найти отношение площади полной поверхности пирамиды к площади полной поверхности конуса:
$\frac{S_{пирамиды}}{S_{конуса}} = \frac{48 + 24(\sqrt{10} + \sqrt{17})}{90\pi}$

Вынесем общий множитель 24 в числителе:
$\frac{24(2 + \sqrt{10} + \sqrt{17})}{90\pi}$

Сократим дробь на 6 (наибольший общий делитель для 24 и 90):
$\frac{4(2 + \sqrt{10} + \sqrt{17})}{15\pi}$

Ответ: $\frac{4(2 + \sqrt{10} + \sqrt{17})}{15\pi}$.