Номер 424, страница 114 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

424. В усечённый конус вписана правильная усечённая n-угольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усечённого конуса). Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды при: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{нижн}$ и $S_{верх}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок}$

По условию задачи, радиусы оснований усеченного конуса равны $R = 5$ см и $r = 2$ см, а высота $H = 4$ см. В конус вписана правильная усеченная $n$-угольная пирамида, значит, ее основаниями являются правильные $n$-угольники, вписанные в окружности оснований конуса, а высота пирамиды равна высоте конуса.

Найдем общие формулы для вычисления площадей.

1. Площади оснований

Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R_{circ}$, вычисляется по формуле:

$S_{n} = \frac{1}{2} n R_{circ}^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \frac{1}{2} n R_{circ}^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

Площадь верхнего основания пирамиды (вписано в окружность радиуса $r=2$ см):

$S_{верх} = \frac{1}{2} n r^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) = \frac{1}{2} n (2^2) \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) = 2n \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

Площадь нижнего основания пирамиды (вписано в окружность радиуса $R=5$ см):

$S_{нижн} = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) = \frac{1}{2} n (5^2) \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right) = \frac{25n}{2} \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

2. Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность состоит из $n$ равных равнобоких трапеций. Площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = n \cdot S_{трапеции} = n \cdot \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_{a}$, где $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований пирамиды, а $h_{a}$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

Сторону правильного $n$-угольника, вписанного в окружность, найдем по формуле $a = 2 R_{circ} \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2 R_{circ} \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Сторона верхнего основания: $a_1 = 2r \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = 4 \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Сторона нижнего основания: $a_2 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = 10 \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Апофему $h_{a}$ найдем из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и разность апофем оснований ($h_{ap2} - h_{ap1}$).

Апофема основания: $h_{ap} = R_{circ} \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

$h_{ap2} - h_{ap1} = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) - r \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = (R-r) \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = 3 \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

По теореме Пифагора:

$h_{a} = \sqrt{H^2 + (h_{ap2} - h_{ap1})^2} = \sqrt{4^2 + \left(3 \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\right)^2} = \sqrt{16 + 9 \cos^2\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}$

Теперь вычислим площадь полной поверхности для каждого случая.

а) n = 3;

Основания — правильные треугольники.

Площадь верхнего основания: $S_{верх} = 2 \cdot 3 \cdot \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см?.

Площадь нижнего основания: $S_{нижн} = \frac{25 \cdot 3}{2} \sin(120^\circ) = \frac{75}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см?.

Апофема пирамиды: $h_{a} = \sqrt{16 + 9 \cos^2(60^\circ)} = \sqrt{16 + 9 \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{64+9}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ см.

Стороны оснований: $a_1 = 4 \sin(60^\circ) = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см; $a_2 = 10 \sin(60^\circ) = 10 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 3 \cdot \frac{2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = 3 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = \frac{21\sqrt{219}}{4}$ см?.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок} = \frac{75\sqrt{3}}{4} + 3\sqrt{3} + \frac{21\sqrt{219}}{4} = \frac{75\sqrt{3} + 12\sqrt{3}}{4} + \frac{21\sqrt{219}}{4} = \frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{219}}{4}$ см?.

Ответ: $\frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{219}}{4}$ см?.

б) n = 4;

Основания — квадраты.

Сторона верхнего квадрата: $a_1 = 4 \sin(45^\circ) = 4 \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. Площадь $S_{верх} = a_1^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ см?.

Сторона нижнего квадрата: $a_2 = 10 \sin(45^\circ) = 10 \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см. Площадь $S_{нижн} = a_2^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$ см?.

Апофема пирамиды: $h_{a} = \sqrt{16 + 9 \cos^2(45^\circ)} = \sqrt{16 + 9 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{18}{4}} = \sqrt{16 + \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{32+9}{2}} = \sqrt{\frac{41}{2}}$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \cdot \frac{2\sqrt{2} + 5\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{41}{2}} = 4 \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}} = 2 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}} = 14\sqrt{41}$ см?.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок} = 50 + 8 + 14\sqrt{41} = 58 + 14\sqrt{41}$ см?.

Ответ: $58 + 14\sqrt{41}$ см?.

в) n = 6;

Основания — правильные шестиугольники. Для них сторона равна радиусу описанной окружности.

Сторона верхнего основания: $a_1 = r = 2$ см. Площадь $S_{верх} = 6 \cdot \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$ см?.

Сторона нижнего основания: $a_2 = R = 5$ см. Площадь $S_{нижн} = 6 \cdot \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{150\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{2}$ см?.

Апофема пирамиды: $h_{a} = \sqrt{16 + 9 \cos^2(30^\circ)} = \sqrt{16 + 9 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{64+27}{4}} = \sqrt{\frac{91}{4}} = \frac{\sqrt{91}}{2}$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 6 \cdot \frac{2 + 5}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = 6 \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt{91}}{2} = \frac{21\sqrt{91}}{2}$ см?.

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок} = \frac{75\sqrt{3}}{2} + 6\sqrt{3} + \frac{21\sqrt{91}}{2} = \frac{75\sqrt{3} + 12\sqrt{3}}{2} + \frac{21\sqrt{91}}{2} = \frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{91}}{2}$ см?.

Ответ: $\frac{87\sqrt{3} + 21\sqrt{91}}{2}$ см?.