Номер 431, страница 115 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

431. Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу; б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.

а)Докажем, что существует точка, равноудаленная от всех четырех вершин тетраэдра. Эта точка и будет центром описанной сферы.

Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Сфера описана около тетраэдра, если все его вершины лежат на поверхности сферы. Это эквивалентно существованию точки $O$ (центра сферы), для которой выполняется равенство $OA = OB = OC = OD$.

Рассмотрим геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек. Для точек $A$ и $B$ это плоскость $\alpha$, перпендикулярная отрезку $AB$ и проходящая через его середину. Аналогично, для точек $A$ и $C$ — плоскость $\beta$, перпендикулярная отрезку $AC$ и проходящая через его середину.

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, так как отрезки $AB$ и $AC$ не параллельны (они имеют общую точку $A$ и не лежат на одной прямой). Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $l$. Каждая точка на прямой $l$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$. Эта прямая $l$ перпендикулярна плоскости грани $(ABC)$ и проходит через центр окружности, описанной около треугольника $\triangle ABC$.

Теперь рассмотрим геометрическое место точек, равноудаленных от вершин $A$ и $D$. Это плоскость $\gamma$, перпендикулярная отрезку $AD$ и проходящая через его середину.

Центр описанной сферы $O$ должен быть равноудален от всех четырех вершин, а значит, он должен принадлежать как прямой $l$ (чтобы быть равноудаленным от $A, B, C$), так и плоскости $\gamma$ (чтобы быть равноудаленным от $A$ и $D$). Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения прямой $l$ и плоскости $\gamma$.

Прямая и плоскость в пространстве пересекаются в единственной точке, за исключением случая, когда прямая параллельна плоскости. Прямая $l$ параллельна плоскости $\gamma$ тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой $l$ перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\gamma$.

Направляющий вектор прямой $l$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, поэтому в качестве него можно взять вектор нормали к этой плоскости, например, векторное произведение $\vec{n} = [\vec{AB} \times \vec{AC}]$.

Нормальный вектор плоскости $\gamma$ — это вектор $\vec{AD}$.

Условие параллельности $l$ и $\gamma$ выглядит как $\vec{n} \cdot \vec{AD} = 0$, то есть $(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD} = 0$. Это выражение является смешанным произведением векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны (лежат в одной плоскости).

Однако, если векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ компланарны, то точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости, что противоречит определению тетраэдра. Следовательно, смешанное произведение не равно нулю, прямая $l$ не параллельна плоскости $\gamma$ и пересекает ее в единственной точке $O$.

Для этой точки $O$ по построению выполняются условия:
1. $O \in l \implies OA = OB = OC$
2. $O \in \gamma \implies OA = OD$
Из этого следует, что $OA = OB = OC = OD$.

Таким образом, существует единственная точка $O$, равноудаленная от всех вершин тетраэдра. Эта точка является центром описанной сферы, а расстояние $R = OA$ — ее радиусом.
Ответ: Утверждение доказано.

б)Докажем, что существует точка, равноудаленная от всех четырех граней тетраэдра. Эта точка и будет центром вписанной сферы.

Пусть грани тетраэдра лежат в плоскостях $P_1, P_2, P_3, P_4$. Сфера вписана в тетраэдр, если она касается всех его граней. Это эквивалентно существованию точки $I$ (центра сферы) внутри тетраэдра, для которой расстояния до всех четырех граней равны.

Воспользуемся аналитическим методом. Тетраэдр представляет собой замкнутое и ограниченное множество точек в пространстве (компакт). Обозначим это множество как $T$.

Для любой точки $X \in T$ определим расстояние до $i$-ой грани как $d_i(X)$. Эта функция непрерывна.

Рассмотрим функцию $f(X) = \min\{d_1(X), d_2(X), d_3(X), d_4(X)\}$. Эта функция также является непрерывной на компакте $T$. Физически $f(X)$ — это радиус наибольшей сферы с центром в точке $X$, которая еще помещается внутри тетраэдра.

По теореме Вейерштрасса, непрерывная функция на компактном множестве достигает своего максимума. Пусть $I$ — это точка, в которой функция $f(X)$ достигает своего максимального значения, которое мы обозначим $r = f(I)$.

Если точка $X$ лежит на границе тетраэдра, то расстояние до одной из граней равно нулю, и $f(X) = 0$. Если точка $X$ находится внутри тетраэдра, то все расстояния $d_i(X)$ положительны, и $f(X) > 0$. Следовательно, точка максимума $I$ должна лежать строго внутри тетраэдра, и максимальное значение $r$ должно быть строго положительным.

Докажем, что в точке $I$ расстояния до всех граней равны, то есть $d_1(I) = d_2(I) = d_3(I) = d_4(I) = r$.

Допустим, это не так. Тогда существует хотя бы одна грань, расстояние до которой строго больше $r$. Пусть $S$ — это множество индексов тех граней, расстояние до которых равно $r$, то есть $S = \{i \mid d_i(I) = r\}$. Наше допущение означает, что $S$ является собственным подмножеством множества $\{1, 2, 3, 4\}$.

Пусть $\vec{n}_i$ — это единичный вектор внутренней нормали к грани $P_i$. Можно показать, что так как векторы $\{\vec{n}_i\}_{i \in S}$ не образуют полную систему для всего пространства (поскольку $|S| < 4$), существует такой вектор направления $\vec{v}$, что для всех $i \in S$ выполняется неравенство $\vec{v} \cdot \vec{n}_i > 0$.

Рассмотрим новую точку $I' = I + \epsilon\vec{v}$, где $\epsilon > 0$ — малая величина. Расстояние от $I'$ до грани $P_i$ можно приближенно вычислить как $d_i(I') \approx d_i(I) + \epsilon(\vec{v} \cdot \vec{n}_i)$.

1. Для $i \in S$: $d_i(I) = r$. Тогда $d_i(I') \approx r + \epsilon(\vec{v} \cdot \vec{n}_i)$. Так как $\vec{v} \cdot \vec{n}_i > 0$, то $d_i(I') > r$.

2. Для $k \notin S$: $d_k(I) > r$. Тогда $d_k(I') \approx d_k(I) + \epsilon(\vec{v} \cdot \vec{n}_k)$. Так как $d_k(I)$ строго больше $r$, при достаточно малом $\epsilon$ расстояние $d_k(I')$ также будет строго больше $r$.

Таким образом, мы нашли точку $I'$, для которой минимальное расстояние до любой из граней строго больше $r$. То есть, $f(I') = \min_i \{d_i(I')\} > r$. Это противоречит тому, что $r = f(I)$ является максимальным значением функции $f(X)$.

Противоречие возникло из-за нашего предположения, что не все расстояния от $I$ до граней равны. Следовательно, это предположение неверно. Значит, $d_1(I) = d_2(I) = d_3(I) = d_4(I) = r$.

Это доказывает существование точки $I$, равноудаленной от всех четырех граней тетраэдра. Эта точка является центром вписанной сферы, а радиус этой сферы равен $r$.
Ответ: Утверждение доказано.