Номер 436, страница 115 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

436. В конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса R (т. е. сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 129, б). Найдите: а) r, если известны R и φ; б) R, если известны r и φ; в) φ, если R = 1 см, r = 3 см.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Сечением конуса является равнобедренный треугольник с углом $\phi$ при вершине и основанием, равным диаметру основания конуса $2r$. Сечением сферы является большая окружность радиуса $R$, которая вписана в этот равнобедренный треугольник.

Пусть $P$ - вершина конуса, $O$ - центр его основания, $A$ - точка на окружности основания. Тогда $\triangle POA$ - прямоугольный треугольник, где $PO$ - высота конуса, $OA = r$ - радиус основания, и $\angle APO = \phi/2$.

Центр вписанной сферы $C$ лежит на высоте $PO$. Расстояние от центра $C$ до основания конуса равно радиусу сферы $R$, то есть $CO = R$. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, отрезок $AC$ является биссектрисой угла $\angle PAO$.

В прямоугольном треугольнике $POA$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle PAO = 90^\circ - \angle APO = 90^\circ - \phi/2$.

Так как $AC$ - биссектриса угла $\angle PAO$, то $\angle CAO = \frac{1}{2}\angle PAO = \frac{1}{2}(90^\circ - \phi/2) = 45^\circ - \phi/4$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COA$. В нем катеты $CO = R$ и $OA = r$. Из определения тангенса угла $\angle CAO$ имеем:

$\tan(\angle CAO) = \frac{CO}{OA} = \frac{R}{r}$

Подставив выражение для угла $\angle CAO$, получаем основное соотношение, связывающее $r$, $R$ и $\phi$:

$\tan(45^\circ - \frac{\phi}{4}) = \frac{R}{r}$

Используя это соотношение, решим все пункты задачи.

а) Найти $r$, если известны $R$ и $\phi$.

Из основного соотношения выразим $r$:

$r = \frac{R}{\tan(45^\circ - \frac{\phi}{4})}$

Используя свойство $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$, можно записать ответ в другом виде:

$r = R \cdot \cot(45^\circ - \frac{\phi}{4})$

Ответ: $r = R \cdot \cot(45^\circ - \frac{\phi}{4})$.

б) Найти $R$, если известны $r$ и $\phi$.

Из основного соотношения $\tan(45^\circ - \frac{\phi}{4}) = \frac{R}{r}$ выразим $R$:

$R = r \cdot \tan(45^\circ - \frac{\phi}{4})$

Ответ: $R = r \cdot \tan(45^\circ - \frac{\phi}{4})$.

в) Найти $\phi$, если $R = 1$ см, $r = \sqrt{3}$ см.

Подставим известные значения $R=1$ и $r=\sqrt{3}$ в основное соотношение:

$\tan(45^\circ - \frac{\phi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Значение тангенса, равное $\frac{1}{\sqrt{3}}$, соответствует углу $30^\circ$. Так как в геометрической задаче угол $\phi$ должен быть в пределах $(0^\circ, 180^\circ)$, то угол $45^\circ - \phi/4$ должен быть в пределах $(0^\circ, 45^\circ)$, поэтому решение единственное.

$45^\circ - \frac{\phi}{4} = 30^\circ$

Выразим $\phi$:

$\frac{\phi}{4} = 45^\circ - 30^\circ$

$\frac{\phi}{4} = 15^\circ$

$\phi = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ$

Ответ: $\phi = 60^\circ$.