Номер 442, страница 121 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 1. Объём прямоугольного параллелепипеда. Глава 5. Объёмы тел - номер 442, страница 121.

Условие.

442. Найдите объём куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если: а) АС = 12 см; б) АС₁ = 32 м; в) DE = 1 см, где E — середина ребра AB.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ грани куба $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABC$ с катетами $AB = BC = a$. По теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
По условию $AC = 12$ см.
$12^2 = 2a^2$
$144 = 2a^2$
$a^2 = 72$
$a = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.
Объём куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$.
$V = (6\sqrt{2})^3 = 6^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 216 \cdot 2\sqrt{2} = 432\sqrt{2}$ см$^3$.
Ответ: $432\sqrt{2}$ см$^3$.

б) Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ куба $AC_1$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ACC_1$ с катетами $AC$ (диагональ грани) и $CC_1$ (ребро куба).
Мы знаем, что $CC_1 = a$ и из предыдущего пункта $AC^2 = 2a^2$. По теореме Пифагора для $\triangle ACC_1$:
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.
По условию $AC_1 = 3\sqrt{2}$ м.
$(3\sqrt{2})^2 = 3a^2$
$9 \cdot 2 = 3a^2$
$18 = 3a^2$
$a^2 = 6$
$a = \sqrt{6}$ м.
Объём куба $V = a^3$.
$V = (\sqrt{6})^3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$ м$^3$.
Ответ: $6\sqrt{6}$ м$^3$.

в) Пусть ребро куба равно $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADE$ в плоскости основания $ABCD$. Угол $A$ прямой. Катеты треугольника: $AD = a$ и $AE$.
Так как $E$ — середина ребра $AB$, то $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$. Гипотенуза $DE = 1$ см по условию.
По теореме Пифагора для $\triangle ADE$:
$DE^2 = AD^2 + AE^2$
$1^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
$1 = a^2 + \frac{a^2}{4}$
$1 = \frac{4a^2 + a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$
$5a^2 = 4$
$a^2 = \frac{4}{5}$
$a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ см.
Объём куба $V = a^3$.
$V = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^3 = \frac{2^3}{(\sqrt{5})^3} = \frac{8}{5\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5 \cdot 5} = \frac{8\sqrt{5}}{25}$ см$^3$.
Ответ: $\frac{8\sqrt{5}}{25}$ см$^3$.