Номер 449, страница 121 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

449. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагональ B₁D составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол A₁B₁BD равен 60°. Найдите объём параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ как $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = c$. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$.

Нахождение высоты параллелепипеда

Угол между диагональю параллелепипеда $B_1D$ и плоскостью основания $(ABCD)$ по определению является углом между этой диагональю и ее проекцией на плоскость основания. Проекцией наклонной $B_1D$ на плоскость $(ABCD)$ является диагональ основания $BD$. Следовательно, угол, о котором говорится в условии, — это $\angle B_1DB$. По условию, $\angle B_1DB = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BD$. Поскольку параллелепипед прямоугольный, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, а значит, и прямой $BD$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $\triangle B_1BD$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B_1BD = 90^\circ$).

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle B_1BD$ имеем: $ \tan(\angle B_1DB) = \frac{BB_1}{BD} $

Высота параллелепипеда равна длине ребра $c = BB_1$. По условию, диагональ основания $BD = 12$ см. Подставим известные значения в формулу: $ \tan(45^\circ) = \frac{c}{12} $

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем, что высота $c$ равна диагонали основания: $ c = 12 \text{ см}. $

Нахождение сторон основания

Двугранный угол $A_1B_1BD$ — это угол между плоскостями, проходящими через ребро $B_1B$. Такими плоскостями являются плоскость боковой грани $(A_1B_1B)$, то есть $(ABB_1A_1)$, и диагональная плоскость $(B_1BD)$, то есть $(DBB_1D_1)$.

Линейный угол этого двугранного угла можно построить, проведя в каждой из плоскостей перпендикуляры к общему ребру $B_1B$ из одной точки на нем, например, из точки $B$.

• В плоскости грани $(ABB_1A_1)$ отрезок $AB$ перпендикулярен ребру $B_1B$ (так как грань — прямоугольник).
• В диагональной плоскости $(DBB_1D_1)$ отрезок $BD$ перпендикулярен ребру $B_1B$ (так как ребро $B_1B$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, а значит и прямой $BD$ в ней).

Следовательно, линейным углом данного двугранного угла является угол $\angle ABD$. По условию он равен $60^\circ$, то есть $\angle ABD = 60^\circ$.

Рассмотрим основание $ABCD$. Это прямоугольник, поэтому треугольник $\triangle ABD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$ ($\angle DAB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $BD = 12$ см и острый угол $\angle ABD = 60^\circ$. Найдем катеты $a = AB$ и $b = AD$, которые являются сторонами основания: $ a = AB = BD \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}. $ $ b = AD = BD \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}. $

Вычисление объема параллелепипеда

Теперь мы знаем все три измерения параллелепипеда: $a = 6$ см, $b = 6\sqrt{3}$ см, $c = 12$ см. Объем равен произведению этих измерений: $ V = a \cdot b \cdot c = 6 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 36\sqrt{3} \cdot 12 = 432\sqrt{3} \text{ см}^3. $

Ответ: $432\sqrt{3} \text{ см}^3$.