Номер 445, страница 121 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

445. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если AC₁ = 13 см, BD = 12 см и BC₁ = 11 см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны $AB = a$, $AD = BC = b$ и $AA_1 = c$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Наша задача — найти значения $a$, $b$ и $c$, используя данные из условия.

1. Используем связь между измерениями параллелепипеда и его диагоналями.

$AC_1$ — это пространственная диагональ параллелепипеда. Квадрат её длины равен сумме квадратов трёх его измерений: $AC_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$. По условию $AC_1 = 13$ см, следовательно: $a^2 + b^2 + c^2 = 13^2 = 169$. (1)

$BD$ — это диагональ основания $ABCD$. Так как основание является прямоугольником, по теореме Пифагора для треугольника $ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + b^2$. По условию $BD = 12$ см, следовательно: $a^2 + b^2 = 12^2 = 144$. (2)

$BC_1$ — это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$. Эта грань также является прямоугольником, поэтому по теореме Пифагора для треугольника $BCC_1$: $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = b^2 + c^2$. По условию $BC_1 = 11$ см, следовательно: $b^2 + c^2 = 11^2 = 121$. (3)

2. Решаем полученную систему уравнений.

Мы получили систему из трёх уравнений:
$a^2 + b^2 + c^2 = 169$
$a^2 + b^2 = 144$
$b^2 + c^2 = 121$

Подставим уравнение (2) в уравнение (1): $(a^2 + b^2) + c^2 = 169$
$144 + c^2 = 169$
$c^2 = 169 - 144 = 25$
$c = \sqrt{25} = 5$ см.

Подставим уравнение (3) в уравнение (1): $a^2 + (b^2 + c^2) = 169$
$a^2 + 121 = 169$
$a^2 = 169 - 121 = 48$
$a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдём $b^2$, подставив значение $a^2$ в уравнение (2): $48 + b^2 = 144$
$b^2 = 144 - 48 = 96$
$b = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

3. Вычисляем объём параллелепипеда.

Мы нашли все три измерения параллелепипеда: $a = 4\sqrt{3}$ см, $b = 4\sqrt{6}$ см, $c = 5$ см. Теперь можем найти объём: $V = a \cdot b \cdot c = (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{6}) \cdot 5$
$V = (4 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}) = 80 \cdot \sqrt{18}$
$V = 80 \cdot \sqrt{9 \cdot 2} = 80 \cdot 3\sqrt{2} = 240\sqrt{2}$ см?.

Ответ: $240\sqrt{2}$ см?.