Номер 447, страница 121 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

447. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол α с плоскостью боковой грани и угол β с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна h.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $h$, где $h$ — заданная высота. Объём параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$. Обозначим диагональ параллелепипеда как $d$.

Сначала рассмотрим угол $\beta$, который диагональ $d$ составляет с плоскостью основания. Диагональ $d$, высота $h$ и диагональ основания $d_{осн} = \sqrt{a^2+b^2}$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\beta$. Таким образом, справедливо соотношение:
$sin(\beta) = \frac{h}{d}$
Из этого соотношения мы можем выразить длину главной диагонали $d$:
$d = \frac{h}{sin(\beta)}$

Теперь рассмотрим угол $\alpha$, который диагональ $d$ составляет с плоскостью боковой грани. Пусть мы выбрали боковую грань с рёбрами $b$ и $h$. Тогда угол $\alpha$ — это угол между диагональю $d$ и её проекцией на эту плоскость. Ребро $a$ перпендикулярно этой боковой грани, поэтому его длина равна расстоянию от конца диагонали до плоскости грани. Таким образом, диагональ $d$, ребро $a$ и проекция диагонали на боковую грань образуют другой прямоугольный треугольник, в котором ребро $a$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Следовательно:
$sin(\alpha) = \frac{a}{d}$
Отсюда выразим длину ребра $a$:
$a = d \cdot sin(\alpha)$

Подставив найденное выражение для $d$ в формулу для $a$, получим:
$a = \left(\frac{h}{sin(\beta)}\right) \cdot sin(\alpha) = h \frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}$

Для нахождения длины третьего ребра $b$ воспользуемся свойством диагонали прямоугольного параллелепипеда, которое связывает её с тремя измерениями по теореме Пифагора в пространстве:
$d^2 = a^2 + b^2 + h^2$
Выразим отсюда $b^2$:
$b^2 = d^2 - a^2 - h^2$
Теперь подставим выражения для $d$ и $a$, которые мы нашли ранее:
$b^2 = \left(\frac{h}{sin(\beta)}\right)^2 - \left(h \frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}\right)^2 - h^2$
$b^2 = \frac{h^2}{sin^2(\beta)} - \frac{h^2 sin^2(\alpha)}{sin^2(\beta)} - h^2$
Вынесем $h^2$ за скобки и приведём выражение к общему знаменателю:
$b^2 = h^2 \left( \frac{1}{sin^2(\beta)} - \frac{sin^2(\alpha)}{sin^2(\beta)} - 1 \right) = h^2 \frac{1 - sin^2(\alpha) - sin^2(\beta)}{sin^2(\beta)}$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 - sin^2(\alpha) = cos^2(\alpha)$, упростим числитель:
$b^2 = h^2 \frac{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}{sin^2(\beta)}$
Так как длина ребра является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:
$b = \sqrt{h^2 \frac{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}{sin^2(\beta)}} = \frac{h}{sin(\beta)}\sqrt{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}$

Наконец, вычислим объём параллелепипеда, перемножив длины его рёбер $a$, $b$ и $h$:
$V = a \cdot b \cdot h = \left(h \frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}\right) \cdot \left(\frac{h}{sin(\beta)}\sqrt{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}\right) \cdot h$
$V = \frac{h^3 sin(\alpha)}{sin^2(\beta)} \sqrt{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}$
Это выражение является решением задачи. Для существования такого параллелепипеда необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $cos^2(\alpha) \ge sin^2(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{h^3 sin(\alpha)}{sin^2(\beta)} \sqrt{cos^2(\alpha) - sin^2(\beta)}$