Номер 446, страница 121 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

446. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$, а его главную диагональ — как $d$. По условию, $d = 18$ см. Объем параллелепипеда $V$ находится по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Для нахождения объёма необходимо определить все три измерения.

1. Нахождение первого измерения.Угол между диагональю и плоскостью боковой грани составляет $30^\circ$. Возьмём диагональ $AC_1$ и боковую грань $ADD_1A_1$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость $ADD_1A_1$ является отрезок $AD_1$, так как $C_1D_1$ — перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, угол $\angle C_1AD_1 = 30^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1D_1$. Он является прямоугольным, поскольку ребро $C_1D_1$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$, а значит, и прямой $AD_1$, лежащей в этой грани ($\angle AD_1C_1 = 90^\circ$). Катет $C_1D_1$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, является одним из измерений параллелепипеда. Обозначим его как $a$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$a = C_1D_1 = d \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

2. Нахождение второго измерения (высоты).Угол между диагональю $AC_1$ и боковым ребром составляет $45^\circ$. В качестве бокового ребра выберем $AA_1$. Угол между ними — это $\angle A_1AC_1 = 45^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle AA_1C_1$. Он является прямоугольным, так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$, а значит, и диагонали основания $A_1C_1$ ($\angle AA_1C_1 = 90^\circ$). Высота параллелепипеда $c = AA_1$ является катетом, прилежащим к углу в $45^\circ$. Тогда:$c = AA_1 = d \cdot \cos(45^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ см.

3. Нахождение третьего измерения.Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Мы уже нашли два измерения: $a = 9$ см и $c = 9\sqrt{2}$ см. Найдем третье измерение $b$.Выразим $b^2$ из формулы:$b^2 = d^2 - a^2 - c^2$Подставим известные значения:$b^2 = 18^2 - 9^2 - (9\sqrt{2})^2 = 324 - 81 - (81 \cdot 2) = 324 - 81 - 162 = 324 - 243 = 81$$b = \sqrt{81} = 9$ см.

4. Вычисление объёма.Теперь, когда известны все три измерения параллелепипеда ($a=9$ см, $b=9$ см, $c=9\sqrt{2}$ см), мы можем вычислить его объём:$V = a \cdot b \cdot c = 9 \cdot 9 \cdot 9\sqrt{2} = 729\sqrt{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $729\sqrt{2} \text{ см}^3$.