Номер 448, страница 121 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

448. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол в 30°. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Стороны его основания равны $AD = BC = b$ и $AB = DC = a$. Высота параллелепипеда равна $h$, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = h$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. В нашем случае площадь основания $S_{осн} = a \cdot b$. Таким образом, для нахождения объёма необходимо определить высоту $h$.

Рассмотрим диагональ параллелепипеда, например, $B_1D$. По условию, эта диагональ составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания $b$, угол в $30^\circ$. Такой гранью является, например, грань $CDD_1C_1$.

Угол между прямой (диагональю $B_1D$) и плоскостью (гранью $CDD_1C_1$) — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Чтобы найти проекцию, опустим перпендикуляр из точки $B_1$ на плоскость $CDD_1C_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$. Следовательно, точка $C_1$ является проекцией точки $B_1$ на эту плоскость. Точка $D$ уже лежит в плоскости этой грани (на прямой $DD_1$). Таким образом, проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость грани $CDD_1C_1$ является отрезок $C_1D$.

Треугольник $\triangle B_1C_1D$ является прямоугольным, так как $B_1C_1 \perp$ плоскости $(CDD_1)$, а значит, $B_1C_1 \perp C_1D$. Угол $\angle B_1DC_1$ — это и есть угол между диагональю $B_1D$ и её проекцией $C_1D$, который по условию равен $30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle B_1C_1D$:

• Катет $B_1C_1$ лежит напротив угла в $30^\circ$. Длина этого катета равна стороне основания $b$, то есть $B_1C_1 = b$.
• Катет $C_1D$ — диагональ боковой грани $CDD_1C_1$.
• $B_1D$ — гипотенуза.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\angle B_1DC_1) = \frac{B_1C_1}{C_1D}$

$\tan(30^\circ) = \frac{b}{C_1D}$

Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{C_1D}$, откуда $C_1D = b\sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$, которая является прямоугольником со сторонами $DC = a$ и $DD_1 = h$. Отрезок $C_1D$ является диагональю этого прямоугольника. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle DD_1C_1$:$C_1D^2 = DD_1^2 + D_1C_1^2$

Подставим известные значения: $D_1C_1 = DC = a$ и $DD_1=h$.$(b\sqrt{3})^2 = h^2 + a^2$

$3b^2 = h^2 + a^2$

Отсюда выразим $h^2$:$h^2 = 3b^2 - a^2$

$h = \sqrt{3b^2 - a^2}$

Теперь мы можем найти объём параллелепипеда:$V = a \cdot b \cdot h = ab\sqrt{3b^2 - a^2}$

Примечание: В задаче допущена неточность. Если бы диагональ составляла угол с гранью, содержащей сторону $a$, то высота была бы $h=\sqrt{3a^2-b^2}$, а объём $V=ab\sqrt{3a^2-b^2}$. Решение приведено в строгом соответствии с текстом задачи (грань содержит сторону $b$).

Ответ: $V = ab\sqrt{3b^2 - a^2}$.