Номер 455, страница 124 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

455. Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную а, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол β с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объём призмы.

Обозначим данную прямую призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание (параллелограмм), а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее. Пусть сторона основания, через которую проведено сечение, это $AD$, и ее длина $AD=a$. Противолежащая ей сторона другого (верхнего) основания — это $B_1C_1$. Сечение представляет собой четырехугольник $ADC_1B_1$.

Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Основания призмы параллельны и равны, поэтому $AD \parallel BC$ и $BC \parallel B_1C_1$, следовательно, $AD \parallel B_1C_1$. Также $AD = B_1C_1 = a$. Поскольку у четырехугольника $ADC_1B_1$ две противоположные стороны параллельны и равны, он является параллелограммом. По условию, площадь этого сечения $S_{ADC_1B_1} = Q$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. В нашем случае, сечение $ADC_1B_1$ проецируется на плоскость нижнего основания. Поскольку призма прямая, проекциями вершин $A$ и $D$ являются сами эти точки, а проекциями вершин $B_1$ и $C_1$ являются точки $B$ и $C$. Таким образом, проекцией сечения $ADC_1B_1$ является основание призмы — параллелограмм $ABCD$.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания по условию равен $\beta$. Следовательно, площадь основания $S_{осн}$ равна: $S_{осн} = S_{ADC_1B_1} \cdot \cos(\beta) = Q \cos(\beta)$

2. Нахождение высоты призмы

Площадь параллелограмма-сечения $ADC_1B_1$ равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Проведем в сечении высоту $h_{сеч}$ из вершины $B_1$ к стороне $AD$. Пусть $K$ — основание этой высоты на прямой $AD$, тогда $B_1K \perp AD$. $S_{ADC_1B_1} = AD \cdot B_1K$ $Q = a \cdot B_1K$ Отсюда высота сечения $B_1K = \frac{Q}{a}$.

Рассмотрим проекцию наклонной $B_1K$ на плоскость основания. Проекцией точки $B_1$ является точка $B$, а проекцией точки $K$ (лежащей на прямой $AD$ в плоскости основания) является сама точка $K$. Значит, проекцией $B_1K$ на плоскость основания является отрезок $BK$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $B_1K$ перпендикулярна прямой $AD$, то и ее проекция $BK$ перпендикулярна этой же прямой $AD$.

Линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания образуется двумя перпендикулярами к их общей линии пересечения $AD$. Так как $B_1K \perp AD$ и $BK \perp AD$, то угол $\angle B_1KB$ и есть искомый линейный угол, то есть $\angle B_1KB = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BK$. Так как призма прямая, ее боковое ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и прямой $BK$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $\triangle B_1BK$ — прямоугольный ($\angle B_1BK = 90^\circ$). Катет $B_1B$ этого треугольника является высотой призмы $H$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\angle B_1KB) = \frac{B_1B}{B_1K}$ $\sin(\beta) = \frac{H}{Q/a}$ $H = \frac{Q}{a} \sin(\beta)$

3. Нахождение объема призмы

Теперь мы можем вычислить объем призмы, подставив найденные выражения для площади основания и высоты: $V = S_{осн} \cdot H = (Q \cos(\beta)) \cdot \left(\frac{Q}{a} \sin(\beta)\right) = \frac{Q^2}{a} \sin(\beta)\cos(\beta)$

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, из которой следует, что $\sin(\beta)\cos(\beta) = \frac{\sin(2\beta)}{2}$.

$V = \frac{Q^2}{a} \cdot \frac{\sin(2\beta)}{2} = \frac{Q^2 \sin(2\beta)}{2a}$

Ответ: $V = \frac{Q^2 \sin(2\beta)}{2a}$