Номер 458, страница 124 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

458. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма призмы воспользуемся формулой $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Так как призма является правильной шестиугольной, её основания — правильные шестиугольники, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Следовательно, высота призмы $h$ равна длине её бокового ребра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют наибольшая диагональ призмы $(D)$, боковое ребро $(h)$ и наибольшая диагональ основания $(d_{осн})$. В этом треугольнике:

- гипотенузой является наибольшая диагональ призмы $D = 8$ см;

- одним катетом является боковое ребро (высота призмы) $h$;

- вторым катетом является проекция наибольшей диагонали призмы на плоскость основания, то есть наибольшая диагональ основания $d_{осн}$.

По условию задачи, угол между наибольшей диагональю призмы $D$ и боковым ребром $h$ составляет $30^{\circ}$.

Используя тригонометрические функции в данном прямоугольном треугольнике, найдём высоту $h$ и наибольшую диагональ основания $d_{осн}$.

Высота $h$ является катетом, прилежащим к углу $30^{\circ}$, поэтому:

$h = D \cdot \cos(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Наибольшая диагональ основания $d_{осн}$ является катетом, противолежащим углу $30^{\circ}$, поэтому:

$d_{осн} = D \cdot \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Теперь определим параметры основания. В основании лежит правильный шестиугольник. Его наибольшая диагональ связана со стороной $a$ шестиугольника соотношением $d_{осн} = 2a$.

Найдём сторону основания $a$:

$a = \frac{d_{осн}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Подставим найденное значение $a = 2$ см:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объём призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты:

$V = S_{осн} \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 24 \cdot (\sqrt{3})^2 = 24 \cdot 3 = 72$ см$^3$.

Ответ: $72$ см$^3$.