Номер 464, страница 124 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

464. В цилиндр вписана правильная n-угольная призма. Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n — произвольное целое число.

Для решения задачи найдем общую формулу для отношения объёма правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр, к объёму этого цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а высота — $h$. Тогда объём цилиндра $V_{цил}$ равен: $V_{цил} = S_{осн.цил} \cdot h = \pi R^2 h$.

Так как призма вписана в цилиндр, её высота также равна $h$, а основанием является правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Объём призмы $V_{пр}$ равен: $V_{пр} = S_{осн.пр} \cdot h$, где $S_{осн.пр}$ — площадь правильного n-угольника в основании.

Искомое отношение объёмов не зависит от высоты $h$ и равно отношению площадей оснований: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{S_{осн.пр} \cdot h}{\pi R^2 h} = \frac{S_{осн.пр}}{\pi R^2}$.

Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно найти, разбив его на $n$ равных равнобедренных треугольников с вершиной в центре окружности. Боковые стороны каждого треугольника равны $R$, а угол между ними равен $\frac{2\pi}{n}$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2}R^2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$. Тогда площадь всего n-угольника: $S_{осн.пр} = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$.

Подставив эту формулу в отношение, получим общую формулу для отношения объёмов: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{\pi R^2} = \frac{n \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2\pi}$.

Теперь, используя эту общую формулу, решим каждый подпункт.

а) n = 3

В основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник. Подставим $n=3$ в общую формулу: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{3 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{2\pi}$.

Так как $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

б) n = 4

В основании призмы лежит правильный четырехугольник (квадрат). Подставим $n=4$ в общую формулу: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{4 \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right)}{2\pi} = \frac{4 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2\pi}$.

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(90^\circ) = 1$, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{4 \cdot 1}{2\pi} = \frac{2}{\pi}$.

Ответ: $\frac{2}{\pi}$.

в) n = 6

В основании призмы лежит правильный шестиугольник. Подставим $n=6$ в общую формулу: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{6 \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)}{2\pi} = \frac{6 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2\pi}$.

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

г) n = 8

В основании призмы лежит правильный восьмиугольник. Подставим $n=8$ в общую формулу: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{8 \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right)}{2\pi} = \frac{8 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2\pi}$.

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.

д) n — произвольное целое число

Для произвольного целого числа $n \ge 3$ мы уже вывели общую формулу в начале решения. Отношение объёма призмы к объёму цилиндра равно отношению площадей их оснований, поскольку их высоты равны.

Площадь основания цилиндра (круга радиуса $R$): $S_{осн.цил} = \pi R^2$.

Площадь основания призмы (правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$): $S_{осн.пр} = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$.

Следовательно, искомое отношение равно: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{\pi R^2} = \frac{n \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2\pi}$.

Ответ: $\frac{n \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2\pi}$.