Номер 471, страница 130 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

471. Основанием призмы ABCA₁B₁C₁ является равносторонний треугольник ABC со стороной m. Вершина А₁ проектируется в центр этого основания, а ребро АА₁ составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите объём призмы.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot H$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $m$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Для нашего случая, сторона равна $m$, поэтому площадь основания:

$S_{\text{осн}} = S_{ABC} = \frac{m^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту призмы.

По условию, вершина $A_1$ верхнего основания проектируется в центр $O$ нижнего основания $ABC$. Это означает, что высота призмы $H$ равна длине отрезка $A_1O$, который перпендикулярен плоскости основания.

Боковое ребро $AA_1$ составляет с плоскостью основания угол $\varphi$. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией ребра $AA_1$ на плоскость основания является отрезок $AO$. Следовательно, $\angle A_1AO = \varphi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$, где $\angle A_1OA = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• $A_1O = H$ — высота призмы (противолежащий катет).
• $AO$ — проекция ребра $AA_1$ на основание (прилежащий катет).

Точка $O$ является центром равностороннего треугольника $ABC$. Расстояние от вершины равностороннего треугольника до его центра равно радиусу описанной около него окружности ($R$). Для равностороннего треугольника со стороной $m$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{m}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, $AO = R = \frac{m}{\sqrt{3}}$.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle A_1OA$ можем найти высоту $H$:

$\tan(\varphi) = \frac{A_1O}{AO} = \frac{H}{AO}$

Отсюда $H = AO \cdot \tan(\varphi) = \frac{m}{\sqrt{3}} \tan(\varphi)$.

3. Найдем объем призмы.

Подставим найденные значения площади основания $S_{\text{осн}}$ и высоты $H$ в формулу объема:

$V = S_{\text{осн}} \cdot H = \left(\frac{m^2 \sqrt{3}}{4}\right) \cdot \left(\frac{m}{\sqrt{3}} \tan(\varphi)\right)$

Сокращаем $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$V = \frac{m^2 \cdot m \cdot \tan(\varphi)}{4} = \frac{m^3}{4} \tan(\varphi)$

Ответ: $V = \frac{m^3}{4} \tan(\varphi)$.