Номер 473, страница 131 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

473. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами а и b. Боковое ребро длины с составляет со смежными сторонами основания углы, равные φ. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Нахождение площади основания

Основанием параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его площадь $S_{осн}$ вычисляется как произведение длин его сторон:

$S_{осн} = a \cdot b$

2. Нахождение высоты параллелепипеда

Для нахождения высоты $H$ введем трехмерную декартову систему координат. Расположим одну из вершин основания в начале координат $A(0, 0, 0)$. Пусть стороны основания $AB$ и $AD$ лежат на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Тогда векторы, соответствующие этим сторонам, будут $\vec{AB} = \{a, 0, 0\}$ и $\vec{AD} = \{0, b, 0\}$.

Пусть боковое ребро, выходящее из вершины $A$, будет $AA_1$. Его длина по условию равна $c$. Обозначим координаты точки $A_1$ как $(x, y, z)$. Тогда вектор бокового ребра $\vec{AA_1} = \{x, y, z\}$. Высота параллелепипеда $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A_1$ на плоскость основания $Oxy$, следовательно, $H = |z|$. Длина вектора $\vec{AA_1}$ равна $c$, поэтому:

$|\vec{AA_1}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = c$

По условию, боковое ребро $AA_1$ составляет со смежными сторонами основания $AB$ и $AD$ углы, равные $\phi$. Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Найдем скалярное произведение вектора $\vec{AA_1}$ и вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = ax$

С другой стороны:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\phi) = c \cdot a \cdot \cos(\phi)$

Приравнивая эти два выражения, получаем $ax = ca \cos(\phi)$, откуда $x = c \cos(\phi)$.

Аналогично для векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = x \cdot 0 + y \cdot b + z \cdot 0 = by$

С другой стороны:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\phi) = c \cdot b \cdot \cos(\phi)$

Приравнивая, получаем $by = cb \cos(\phi)$, откуда $y = c \cos(\phi)$.

Теперь мы можем найти $z$ (высоту $H$) из уравнения длины вектора $\vec{AA_1}$:

$x^2 + y^2 + z^2 = c^2$

Подставляем найденные значения $x$ и $y$:

$(c \cos(\phi))^2 + (c \cos(\phi))^2 + z^2 = c^2$

$c^2 \cos^2(\phi) + c^2 \cos^2(\phi) + z^2 = c^2$

$2c^2 \cos^2(\phi) + z^2 = c^2$

$z^2 = c^2 - 2c^2 \cos^2(\phi) = c^2(1 - 2\cos^2(\phi))$

Поскольку высота $H$ должна быть положительной величиной ($H = z$), извлекаем квадратный корень:

$H = \sqrt{c^2(1 - 2\cos^2(\phi))} = c\sqrt{1 - 2\cos^2(\phi)}$

Стоит отметить, что для существования такого параллелепипеда необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $1 - 2\cos^2(\phi) \ge 0$, что выполняется при $\cos^2(\phi) \le 1/2$, то есть при $\phi \ge 45^\circ$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\phi) = 2\cos^2(\phi) - 1$, выражение для высоты можно записать как $H = c\sqrt{-\cos(2\phi)}$.

3. Вычисление объема параллелепипеда

Теперь подставляем найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в исходную формулу для объема:

$V = S_{осн} \cdot H = (ab) \cdot (c\sqrt{1 - 2\cos^2(\phi)})$

$V = abc\sqrt{1 - 2\cos^2(\phi)}$

Ответ: $V = abc\sqrt{1 - 2\cos^2(\phi)}$.