Номер 472, страница 131 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

472. Основанием наклонной призмы ABCА₁В₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 7 см и АС = 24 см. Вершина А₁ равноудалена от вершин А, В и С. Найдите объём призмы, если ребро AA₁ составляет с плоскостью основания угол в 45°.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB = 7$ см и $AC = 24$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84$ см?.

2. Нахождение высоты призмы

Пусть $A_1O$ — высота призмы, опущенная из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$. Тогда $H = A_1O$.

По условию, вершина $A_1$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$, то есть отрезки $A_1A$, $A_1B$ и $A_1C$ равны. Эти отрезки являются наклонными к плоскости основания, а отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ — их проекциями. Так как наклонные равны, то равны и их проекции: $OA = OB = OC$.

Это означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный, центр его описанной окружности лежит на середине гипотенузы $BC$.

Найдем гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см.

Проекцией бокового ребра $AA_1$ на плоскость основания является отрезок $OA$. Длина этого отрезка равна радиусу описанной окружности $R$:

$OA = R = \frac{BC}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость, то есть угол $\angle A_1AO$. По условию, $\angle A_1AO = 45°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$ (угол $\angle A_1OA = 90°$). Так как один из его острых углов равен $45°$, то этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $H = A_1O = OA$.

Следовательно, высота призмы $H = 12.5$ см.

3. Вычисление объёма призмы

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 84 \cdot 12.5 = 84 \cdot \frac{25}{2} = 42 \cdot 25 = 1050$ см?.

Ответ: 1050 см?.