Номер 467, страница 130 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

467. Фигура, заштрихованная на рисунке 147, вращается вокруг оси Ох. Найдите объём полученного тела.

Поскольку в условии задачи не указан конкретный рисунок, приведем решения для всех четырех стандартных подпунктов задачи №467 из соответствующего учебника. Объем тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \geq 0$ на отрезке $[a, b]$), осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

а)

Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $x=1$, $x=2$ и $y=0$ (ось $Ox$).

Пределами интегрирования являются $a=1$ и $b=2$. Функция, ограничивающая фигуру сверху, — $y=x^2$.

Подставляем данные в формулу объема:

$V = \pi \int_{1}^{2} (x^2)^2 dx = \pi \int_{1}^{2} x^4 dx$

Найдем первообразную для функции $f(x)=x^4$: $F(x) = \frac{x^5}{5}$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{32}{5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{31\pi}{5}$

Ответ: $\frac{31\pi}{5}$

б)

Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x=1$, $x=4$ и $y=0$ (ось $Ox$).

Пределами интегрирования являются $a=1$ и $b=4$. Функция, ограничивающая фигуру сверху, — $y=\sqrt{x}$.

Подставляем данные в формулу объема:

$V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx$

Найдем первообразную для функции $f(x)=x$: $F(x) = \frac{x^2}{2}$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{15\pi}{2}$

Ответ: $\frac{15\pi}{2}$

в)

Фигура ограничена линиями $y = x$, $x=2$ и $y=0$ (ось $Ox$). Треугольная область с вершинами в точках (0,0), (2,0) и (2,2).

Пределами интегрирования являются $a=0$ и $b=2$. Функция, ограничивающая фигуру сверху, — $y=x$.

Подставляем данные в формулу объема:

$V = \pi \int_{0}^{2} x^2 dx$

Найдем первообразную для функции $f(x)=x^2$: $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{8\pi}{3}$

Отметим, что полученное тело является конусом с радиусом основания $r=2$ и высотой $h=2$. Его объем можно проверить по геометрической формуле: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2^2)(2) = \frac{8\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$

г)

Фигура ограничена линиями $y = x^2+1$, $x=1$, $x=2$ и $y=0$ (ось $Ox$).

Пределами интегрирования являются $a=1$ и $b=2$. Функция, ограничивающая фигуру сверху, — $y=x^2+1$.

Подставляем данные в формулу объема:

$V = \pi \int_{1}^{2} (x^2+1)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(x^2+1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

Интегрируем полученный многочлен:

$V = \pi \int_{1}^{2} (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

Первообразная для $x^4 + 2x^2 + 1$ равна $F(x) = \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{1}^{2} = \pi \left( \left(\frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1\right) \right) = \pi \left( \frac{32-1}{5} + \frac{16-2}{3} + (2-1) \right)$

$V = \pi \left( \frac{31}{5} + \frac{14}{3} + 1 \right) = \pi \left( \frac{31 \cdot 3 + 14 \cdot 5 + 1 \cdot 15}{15} \right) = \pi \left( \frac{93 + 70 + 15}{15} \right) = \frac{178\pi}{15}$

Ответ: $\frac{178\pi}{15}$