Страница 130 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

466. Сечение тела, изображённого на рисунке 146, плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку с абсциссой х, является квадратом, сторона которого равна $\frac{1}{x}$. Найдите объём этого тела.

Для нахождения объёма тела используется формула, основанная на интегрировании площади поперечного сечения. Если тело расположено вдоль оси $Ox$ от $x=a$ до $x=b$, и площадь его сечения плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ в точке $x$, равна $S(x)$, то объём $V$ тела вычисляется по формуле:

$V = \int_{a}^{b} S(x) \,dx$

Согласно условию задачи, сечение тела в точке с абсциссой $x$ является квадратом. Сторона этого квадрата равна $\frac{1}{x}$.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = \text{сторона}^2$. Таким образом, функция площади поперечного сечения $S(x)$ для данного тела будет:

$S(x) = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}$

Из рисунка видно, что тело простирается вдоль оси $Ox$ от $x=1$ до $x=2$. Следовательно, пределы интегрирования равны $a=1$ и $b=2$.

Теперь мы можем вычислить объём, подставив функцию площади и пределы интегрирования в формулу объёма:

$V = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx$

Для вычисления этого определённого интеграла найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$. Используя правило степенного интегрирования, получаем:

$\int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

467. Фигура, заштрихованная на рисунке 147, вращается вокруг оси Ох. Найдите объём полученного тела.

Поскольку в условии задачи не указан конкретный рисунок, приведем решения для всех четырех стандартных подпунктов задачи №467 из соответствующего учебника. Объем тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \geq 0$ на отрезке $[a, b]$), осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

а)

Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $x=1$, $x=2$ и $y=0$ (ось $Ox$).

Пределами интегрирования являются $a=1$ и $b=2$. Функция, ограничивающая фигуру сверху, — $y=x^2$.

Подставляем данные в формулу объема:

$V = \pi \int_{1}^{2} (x^2)^2 dx = \pi \int_{1}^{2} x^4 dx$

Найдем первообразную для функции $f(x)=x^4$: $F(x) = \frac{x^5}{5}$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{32}{5} - \frac{1}{5} \right) = \frac{31\pi}{5}$

Ответ: $\frac{31\pi}{5}$

б)

Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $x=1$, $x=4$ и $y=0$ (ось $Ox$).

Пределами интегрирования являются $a=1$ и $b=4$. Функция, ограничивающая фигуру сверху, — $y=\sqrt{x}$.

Подставляем данные в формулу объема:

$V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{4} x dx$

Найдем первообразную для функции $f(x)=x$: $F(x) = \frac{x^2}{2}$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{15\pi}{2}$

Ответ: $\frac{15\pi}{2}$

в)

Фигура ограничена линиями $y = x$, $x=2$ и $y=0$ (ось $Ox$). Треугольная область с вершинами в точках (0,0), (2,0) и (2,2).

Пределами интегрирования являются $a=0$ и $b=2$. Функция, ограничивающая фигуру сверху, — $y=x$.

Подставляем данные в формулу объема:

$V = \pi \int_{0}^{2} x^2 dx$

Найдем первообразную для функции $f(x)=x^2$: $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{8\pi}{3}$

Отметим, что полученное тело является конусом с радиусом основания $r=2$ и высотой $h=2$. Его объем можно проверить по геометрической формуле: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2^2)(2) = \frac{8\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$

г)

Фигура ограничена линиями $y = x^2+1$, $x=1$, $x=2$ и $y=0$ (ось $Ox$).

Пределами интегрирования являются $a=1$ и $b=2$. Функция, ограничивающая фигуру сверху, — $y=x^2+1$.

Подставляем данные в формулу объема:

$V = \pi \int_{1}^{2} (x^2+1)^2 dx$

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(x^2+1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

Интегрируем полученный многочлен:

$V = \pi \int_{1}^{2} (x^4 + 2x^2 + 1) dx$

Первообразная для $x^4 + 2x^2 + 1$ равна $F(x) = \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_{1}^{2} = \pi \left( \left(\frac{2^5}{5} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^5}{5} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1\right) \right) = \pi \left( \frac{32-1}{5} + \frac{16-2}{3} + (2-1) \right)$

$V = \pi \left( \frac{31}{5} + \frac{14}{3} + 1 \right) = \pi \left( \frac{31 \cdot 3 + 14 \cdot 5 + 1 \cdot 15}{15} \right) = \pi \left( \frac{93 + 70 + 15}{15} \right) = \frac{178\pi}{15}$

Ответ: $\frac{178\pi}{15}$

468. Фигура, заштрихованная на рисунке 148, вращается вокруг оси Оу. Найдите объём полученного тела.

Задача предполагает нахождение объёма тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из координатных осей. Так как на изображении не указан конкретный подпункт, а лишь общая формулировка задачи, приведём решение для всех подпунктов, соответствующих рисунку 148 из учебника.

а) Фигура ограничена линиями $y = x^2, y = 1, x = 0$; вращение вокруг оси $Oy$.

Для вычисления объёма тела, полученного вращением фигуры вокруг оси $Oy$, применяется формула $V = \pi \int_{c}^{d} [x(y)]^2 dy$.
Сначала выразим $x$ как функцию от $y$ из уравнения параболы $y = x^2$. Поскольку фигура находится в первой четверти ($x \ge 0$), получаем $x = \sqrt{y}$.
Пределы интегрирования по оси $y$ заданы условиями: от $y=0$ до $y=1$.
Теперь подставим всё в формулу и вычислим интеграл: $V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{y})^2 dy = \pi \int_{0}^{1} y \, dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Фигура ограничена линиями $y = x^3, y = 1, x = 0$; вращение вокруг оси $Oy$.

Используем ту же формулу для вращения вокруг оси $Oy$: $V = \pi \int_{c}^{d} [x(y)]^2 dy$.
Из уравнения $y = x^3$ выражаем $x$: $x = \sqrt[3]{y}$.
Пределы интегрирования по $y$ — от 0 до 1.
Подставляем в формулу и вычисляем: $V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt[3]{y})^2 dy = \pi \int_{0}^{1} y^{2/3} dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^{2/3+1}}{2/3+1} \right]_{0}^{1} = \pi \left[ \frac{y^{5/3}}{5/3} \right]_{0}^{1} = \pi \left[ \frac{3}{5}y^{5/3} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{3}{5} \cdot 1^{5/3} - \frac{3}{5} \cdot 0^{5/3} \right) = \frac{3\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{5}$.

в) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}, y = 0, x = 1$; вращение вокруг оси $Ox$.

Для вычисления объёма тела, полученного вращением фигуры вокруг оси $Ox$, применяется формула $V = \pi \int_{a}^{b} [y(x)]^2 dx$.
Функция $y(x) = \sqrt{x}$ задана в явном виде. Пределы интегрирования по оси $x$ определяются условиями: от $x=0$ (точка пересечения $y=\sqrt{x}$ и $y=0$) до $x=1$.
Подставляем в формулу и вычисляем: $V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x \, dx$
$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Фигура ограничена линиями $y = x^2, y = x^3$; вращение вокруг оси $Ox$.

Сначала найдём точки пересечения кривых, чтобы определить пределы интегрирования: $x^2 = x^3 \implies x^3 - x^2 = 0 \implies x^2(x-1) = 0$. Точки пересечения при $x=0$ и $x=1$.
На интервале $(0, 1)$ график функции $y = x^2$ расположен выше графика $y = x^3$ (например, при $x=0.5$, имеем $0.5^2=0.25$ и $0.5^3=0.125$, и $0.25 > 0.125$).
Объём тела вращения находится методом шайб (колец) как разность объёмов тел вращения, образованных верхней ($y_{верх} = x^2$) и нижней ($y_{низ} = x^3$) кривыми.
Формула объёма: $V = \pi \int_{a}^{b} (y_{верх}^2(x) - y_{низ}^2(x)) dx$.
$V = \pi \int_{0}^{1} ((x^2)^2 - (x^3)^2) dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 - x^6) dx$
$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \pi \left( (\frac{1^5}{5} - \frac{1^7}{7}) - (\frac{0^5}{5} - \frac{0^7}{7}) \right)$
$V = \pi \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) = \pi \left( \frac{7-5}{35} \right) = \frac{2\pi}{35}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{35}$.

469. Найдите объём наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 60°.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник со сторонами $a = 10$ см, $b = 10$ см и $c = 12$ см. Для вычисления его площади можно воспользоваться формулой Герона: $S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона и вычислим площадь основания:

$S_{осн} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48$ см².

2. Найдем высоту призмы.

Высота призмы $H$ определяется через длину бокового ребра $l$ и угол $\alpha$, который боковое ребро составляет с плоскостью основания. Связь между ними выражается формулой $H = l \cdot \sin\alpha$.

Согласно условию, длина бокового ребра $l = 8$ см, а угол наклона $\alpha = 60°$.

Вычислим высоту призмы:

$H = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

3. Найдем объем призмы.

Зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем призмы, перемножив эти значения:

$V = S_{осн} \cdot H = 48 \cdot 4\sqrt{3} = 192\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $192\sqrt{3}$ см³.

470. Найдите объём наклонной призмы ABCА₁В₁С₁, если AB = ВС = СА = а, ABB₁A₁ — ромб, AB₁ ‹ BA₁, AB₁ = b, двугранный угол с ребром AB прямой.

Объем наклонной призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является треугольник $ABC$. По условию, $AB = BC = CA = a$, следовательно, треугольник $ABC$ — равносторонний. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Для нахождения высоты призмы $H$ воспользуемся условием о том, что двугранный угол при ребре $AB$ прямой. Это означает, что плоскость боковой грани $ABB_1A_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. В таком случае, высота призмы $H$ равна высоте ромба $ABB_1A_1$, проведенной из вершины $A_1$ к стороне $AB$.

Рассмотрим ромб $ABB_1A_1$. Все его стороны равны $a$. Дана длина одной из диагоналей ромба, $AB_1 = b$. Найдем вторую диагональ $BA_1$, используя свойство, что сумма квадратов диагоналей ромба равна учетверенному квадрату его стороны: $(AB_1)^2 + (BA_1)^2 = 4 \cdot (AB)^2$.

Подставим известные значения: $b^2 + (BA_1)^2 = 4a^2$. Отсюда $BA_1 = \sqrt{4a^2 - b^2}$.

Площадь ромба $S_{ромба}$ можно выразить двумя способами. Через диагонали: $S_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot BA_1 = \frac{1}{2} b \sqrt{4a^2 - b^2}$. И через основание и высоту: $S_{ромба} = AB \cdot H = a \cdot H$.

Приравнивая эти два выражения для площади, получим: $a \cdot H = \frac{1}{2} b \sqrt{4a^2 - b^2}$.

Выразим отсюда высоту призмы $H$:

$H = \frac{b \sqrt{4a^2 - b^2}}{2a}$

Теперь вычислим объем призмы, подставив найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ в начальную формулу:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b \sqrt{4a^2 - b^2}}{2a}$

После упрощения получим окончательный ответ:

$V = \frac{ab \sqrt{3(4a^2 - b^2)}}{8}$

Ответ: $V = \frac{ab \sqrt{3(4a^2 - b^2)}}{8}$.

471. Основанием призмы ABCA₁B₁C₁ является равносторонний треугольник ABC со стороной m. Вершина А₁ проектируется в центр этого основания, а ребро АА₁ составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите объём призмы.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{\text{осн}} \cdot H$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

Основанием призмы является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $m$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Для нашего случая, сторона равна $m$, поэтому площадь основания:

$S_{\text{осн}} = S_{ABC} = \frac{m^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту призмы.

По условию, вершина $A_1$ верхнего основания проектируется в центр $O$ нижнего основания $ABC$. Это означает, что высота призмы $H$ равна длине отрезка $A_1O$, который перпендикулярен плоскости основания.

Боковое ребро $AA_1$ составляет с плоскостью основания угол $\varphi$. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией ребра $AA_1$ на плоскость основания является отрезок $AO$. Следовательно, $\angle A_1AO = \varphi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$, где $\angle A_1OA = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• $A_1O = H$ — высота призмы (противолежащий катет).
• $AO$ — проекция ребра $AA_1$ на основание (прилежащий катет).

Точка $O$ является центром равностороннего треугольника $ABC$. Расстояние от вершины равностороннего треугольника до его центра равно радиусу описанной около него окружности ($R$). Для равностороннего треугольника со стороной $m$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{m}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, $AO = R = \frac{m}{\sqrt{3}}$.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle A_1OA$ можем найти высоту $H$:

$\tan(\varphi) = \frac{A_1O}{AO} = \frac{H}{AO}$

Отсюда $H = AO \cdot \tan(\varphi) = \frac{m}{\sqrt{3}} \tan(\varphi)$.

3. Найдем объем призмы.

Подставим найденные значения площади основания $S_{\text{осн}}$ и высоты $H$ в формулу объема:

$V = S_{\text{осн}} \cdot H = \left(\frac{m^2 \sqrt{3}}{4}\right) \cdot \left(\frac{m}{\sqrt{3}} \tan(\varphi)\right)$

Сокращаем $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$V = \frac{m^2 \cdot m \cdot \tan(\varphi)}{4} = \frac{m^3}{4} \tan(\varphi)$

Ответ: $V = \frac{m^3}{4} \tan(\varphi)$.