Страница 124 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

452. Найдите объём прямой призмы ABCA₁B₁C₁, если:

a) ∠ВАС = 120°, AB = 5 см, АС = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см²;

б) ∠AB₁C = 60°, AB₁ = 3, СВ₁ = 2 и двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой.

а)

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания призмы — треугольника $ABC$. По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$

Подставим известные значения: $AB=5$ см, $AC=3$ см, $\angle BAC = 120^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

2. Найдем высоту призмы $h$. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра ($h = AA_1 = BB_1 = CC_1$). Площади боковых граней, являющихся прямоугольниками, равны $S_{ABB_1A_1} = AB \cdot h = 5h$, $S_{ACC_1A_1} = AC \cdot h = 3h$ и $S_{BCC_1B_1} = BC \cdot h$.

Наибольшая из площадей боковых граней соответствует наибольшей стороне основания. Найдем длину стороны $BC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

$BC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$.

$BC = \sqrt{49} = 7$ см.

Сравнивая стороны основания ($AB=5$ см, $AC=3$ см, $BC=7$ см), видим, что $BC$ — наибольшая сторона. Следовательно, грань $BCC_1B_1$ имеет наибольшую площадь.

По условию, наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см$^2$.

$S_{BCC_1B_1} = BC \cdot h = 35$

$7 \cdot h = 35$

$h = 5$ см.

3. Теперь можем найти объем призмы:

$V = S_{ABC} \cdot h = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^3$.

б)

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

1. Условие "двугранный угол с ребром $BB_1$ прямой" означает, что плоскости граней $ABB_1A_1$ и $CBB_1C_1$ перпендикулярны. Так как призма прямая, ее боковые грани перпендикулярны основаниям. Следовательно, линейный угол двугранного угла при ребре $BB_1$ — это угол $\angle ABC$ в основании. Таким образом, $\angle ABC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ в основании является прямоугольным.

2. Пусть высота призмы $h = BB_1$. Так как призма прямая, боковые ребра перпендикулярны основанию, поэтому треугольники $\triangle ABB_1$ и $\triangle CBB_1$ являются прямоугольными (с прямыми углами при вершине $B$). По теореме Пифагора:

Из $\triangle ABB_1$: $AB^2 = AB_1^2 - BB_1^2 = 3^2 - h^2 = 9 - h^2$.

Из $\triangle CBB_1$: $BC^2 = CB_1^2 - BB_1^2 = 2^2 - h^2 = 4 - h^2$.

3. Рассмотрим треугольник $AB_1C$. В нем известны две стороны $AB_1=3$, $CB_1=2$ и угол между ними $\angle AB_1C = 60^\circ$. Найдем квадрат третьей стороны $AC^2$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB_1^2 + CB_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot CB_1 \cdot \cos(\angle AB_1C)$

$AC^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$.

4. С другой стороны, $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABC$. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Подставим выражения для $AB^2$ и $BC^2$, найденные в пункте 2:

$AC^2 = (9 - h^2) + (4 - h^2) = 13 - 2h^2$.

5. Приравняем два полученных выражения для $AC^2$ и найдем высоту $h$:

$13 - 2h^2 = 7$

$2h^2 = 6$

$h^2 = 3 \implies h = \sqrt{3}$.

6. Теперь найдем длины катетов основания $AB$ и $BC$:

$AB^2 = 9 - h^2 = 9 - 3 = 6 \implies AB = \sqrt{6}$.

$BC^2 = 4 - h^2 = 4 - 3 = 1 \implies BC = 1$.

7. Найдем площадь основания — прямоугольного треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot 1 = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

8. Найдем объем призмы:

$V = S_{ABC} \cdot h = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{18}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

453. Найдите объём прямой призмы ABCA₁B₁C₁, если AB = ВС = m, ∠ABC = φ и ВВ₁ = ВD, где BD — высота треугольника ABC.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. В основании данной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. Так как призма прямая, её высота $H$ равна длине бокового ребра $BB_1$.

Сначала найдем площадь основания $S_{ABC}$. Площадь треугольника можно вычислить по формуле через две стороны и угол между ними. По условию, $AB = BC = m$ и $\angle ABC = \phi$. Тогда площадь основания равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} m \cdot m \cdot \sin\phi = \frac{1}{2}m^2\sin\phi$.

Далее найдем высоту призмы $H$. По условию, $H = BB_1 = BD$, где $BD$ — высота треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ ($AB=BC$), его высота $BD$, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла $\angle ABC$. Таким образом, $\angle ABD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{\phi}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, где $\angle BDA = 90^\circ$. Катет $BD$ можно выразить через гипотенузу $AB=m$ и прилежащий к нему угол $\angle ABD$:

$BD = AB \cdot \cos(\angle ABD) = m \cos\frac{\phi}{2}$.

Следовательно, высота призмы $H = m \cos\frac{\phi}{2}$.

Теперь можем вычислить объем призмы, подставив найденные значения $S_{ABC}$ и $H$ в формулу объема:

$V = S_{ABC} \cdot H = \left(\frac{1}{2}m^2\sin\phi\right) \cdot \left(m \cos\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}m^3\sin\phi \cos\frac{\phi}{2}$.

Это выражение можно упростить, используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin\phi = 2\sin\frac{\phi}{2}\cos\frac{\phi}{2}$:

$V = \frac{1}{2}m^3 \left(2\sin\frac{\phi}{2}\cos\frac{\phi}{2}\right) \cos\frac{\phi}{2} = m^3\sin\frac{\phi}{2}\cos^2\frac{\phi}{2}$.

Ответ: $m^3\sin\frac{\phi}{2}\cos^2\frac{\phi}{2}$.

454. Найдите объём прямой призмы ABCA₁B₁C₁, если AB = ВС, ∠ABC = α, диагональ А₁С равна l и составляет с плоскостью основания угол β.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, ее высота $H$ совпадает с длиной бокового ребра, то есть $H = AA_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1AC$. Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а следовательно, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая $AC$. Таким образом, $\triangle A_1AC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle A_1AC$.

Угол между диагональю $A_1C$ и плоскостью основания $ABC$ — это по определению угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $A_1C$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AC$. Следовательно, угол $\angle A_1CA = \beta$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1AC$ (гипотенуза $A_1C = l$) можно выразить его катеты:
Высоту призмы $H = AA_1 = A_1C \cdot \sin(\angle A_1CA) = l \sin\beta$.
Сторону основания $AC = A_1C \cdot \cos(\angle A_1CA) = l \cos\beta$.

Теперь найдем площадь основания $S_{осн} = S_{\triangle ABC}$. В основании лежит равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, $\angle ABC = \alpha$, а длина основания $AC$ нам известна: $AC = l \cos\beta$.

Проведем высоту $BM$ к стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Значит, $BM \perp AC$, $M$ — середина $AC$, и $\angle CBM = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BMC$. В нем $MC = \frac{1}{2} AC = \frac{l \cos\beta}{2}$. Высоту $BM$ можно найти из соотношения:
$\tan(\angle CBM) = \frac{MC}{BM}$, откуда $BM = \frac{MC}{\tan(\angle CBM)} = \frac{l \cos\beta / 2}{\tan(\alpha/2)} = \frac{1}{2} l \cos\beta \cot(\frac{\alpha}{2})$.

Площадь основания $S_{осн}$ равна половине произведения основания на высоту:
$S_{осн} = S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BM = \frac{1}{2} (l \cos\beta) \cdot \left(\frac{1}{2} l \cos\beta \cot\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{4} l^2 \cos^2\beta \cot\frac{\alpha}{2}$.

Наконец, подставим найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объема призмы:
$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{4} l^2 \cos^2\beta \cot\frac{\alpha}{2}\right) \cdot (l \sin\beta) = \frac{1}{4} l^3 \sin\beta \cos^2\beta \cot\frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $V = \frac{1}{4} l^3 \sin\beta \cos^2\beta \cot\frac{\alpha}{2}$.

455. Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную а, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол β с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объём призмы.

Обозначим данную прямую призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание (параллелограмм), а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее. Пусть сторона основания, через которую проведено сечение, это $AD$, и ее длина $AD=a$. Противолежащая ей сторона другого (верхнего) основания — это $B_1C_1$. Сечение представляет собой четырехугольник $ADC_1B_1$.

Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Основания призмы параллельны и равны, поэтому $AD \parallel BC$ и $BC \parallel B_1C_1$, следовательно, $AD \parallel B_1C_1$. Также $AD = B_1C_1 = a$. Поскольку у четырехугольника $ADC_1B_1$ две противоположные стороны параллельны и равны, он является параллелограммом. По условию, площадь этого сечения $S_{ADC_1B_1} = Q$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. В нашем случае, сечение $ADC_1B_1$ проецируется на плоскость нижнего основания. Поскольку призма прямая, проекциями вершин $A$ и $D$ являются сами эти точки, а проекциями вершин $B_1$ и $C_1$ являются точки $B$ и $C$. Таким образом, проекцией сечения $ADC_1B_1$ является основание призмы — параллелограмм $ABCD$.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания по условию равен $\beta$. Следовательно, площадь основания $S_{осн}$ равна: $S_{осн} = S_{ADC_1B_1} \cdot \cos(\beta) = Q \cos(\beta)$

2. Нахождение высоты призмы

Площадь параллелограмма-сечения $ADC_1B_1$ равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Проведем в сечении высоту $h_{сеч}$ из вершины $B_1$ к стороне $AD$. Пусть $K$ — основание этой высоты на прямой $AD$, тогда $B_1K \perp AD$. $S_{ADC_1B_1} = AD \cdot B_1K$ $Q = a \cdot B_1K$ Отсюда высота сечения $B_1K = \frac{Q}{a}$.

Рассмотрим проекцию наклонной $B_1K$ на плоскость основания. Проекцией точки $B_1$ является точка $B$, а проекцией точки $K$ (лежащей на прямой $AD$ в плоскости основания) является сама точка $K$. Значит, проекцией $B_1K$ на плоскость основания является отрезок $BK$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $B_1K$ перпендикулярна прямой $AD$, то и ее проекция $BK$ перпендикулярна этой же прямой $AD$.

Линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания образуется двумя перпендикулярами к их общей линии пересечения $AD$. Так как $B_1K \perp AD$ и $BK \perp AD$, то угол $\angle B_1KB$ и есть искомый линейный угол, то есть $\angle B_1KB = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1BK$. Так как призма прямая, ее боковое ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и прямой $BK$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $\triangle B_1BK$ — прямоугольный ($\angle B_1BK = 90^\circ$). Катет $B_1B$ этого треугольника является высотой призмы $H$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\angle B_1KB) = \frac{B_1B}{B_1K}$ $\sin(\beta) = \frac{H}{Q/a}$ $H = \frac{Q}{a} \sin(\beta)$

3. Нахождение объема призмы

Теперь мы можем вычислить объем призмы, подставив найденные выражения для площади основания и высоты: $V = S_{осн} \cdot H = (Q \cos(\beta)) \cdot \left(\frac{Q}{a} \sin(\beta)\right) = \frac{Q^2}{a} \sin(\beta)\cos(\beta)$

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, из которой следует, что $\sin(\beta)\cos(\beta) = \frac{\sin(2\beta)}{2}$.

$V = \frac{Q^2}{a} \cdot \frac{\sin(2\beta)}{2} = \frac{Q^2 \sin(2\beta)}{2a}$

Ответ: $V = \frac{Q^2 \sin(2\beta)}{2a}$

456. Найдите объём правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.В данной задаче мы имеем дело с правильной $n$-угольной призмой, у которой все ребра равны $a$. Это значит, что основанием призмы является правильный $n$-угольник со стороной $a$, а высота призмы $h$ также равна $a$.Следовательно, для решения задачи нам необходимо для каждого значения $n$ вычислить площадь соответствующего правильного многоугольника и умножить ее на высоту $a$.

а) n = 3

Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.Высота призмы $h = a$.Следовательно, объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3$.

б) n = 4

Основанием является правильный четырехугольник (квадрат) со стороной $a$. Так как все ребра равны $a$, данная фигура является кубом.Площадь квадрата со стороной $a$:$S_{осн} = a^2$.Высота призмы $h = a$.Объем куба:$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot a = a^3$.

Ответ: $V = a^3$.

в) n = 6

Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$.Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.Тогда площадь всего шестиугольника:$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.Высота призмы $h = a$.Объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^3$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^3$.

г) n = 8

Основанием является правильный восьмиугольник со стороной $a$. Общая формула площади правильного $n$-угольника со стороной $a$ выглядит так: $S_n = \frac{na^2}{4} \cot(\frac{180^\circ}{n})$.Для $n=8$ получаем:$S_{осн} = \frac{8a^2}{4} \cot(\frac{180^\circ}{8}) = 2a^2 \cot(22.5^\circ)$.Чтобы найти значение $\cot(22.5^\circ)$, можно использовать формулу половинного угла $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$. Пусть $\alpha = 45^\circ$:$\cot(22.5^\circ) = \frac{1 + \cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$.Теперь можем найти площадь основания:$S_{осн} = 2a^2 (1+\sqrt{2})$.Высота призмы $h = a$.Объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = 2a^2 (1+\sqrt{2}) \cdot a = 2(1+\sqrt{2})a^3$.

Ответ: $V = 2(1+\sqrt{2})a^3$.

457. В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объём призмы, если сторона основания равна а.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ – нижнее основание, а $A_1B_1C_1$ – верхнее. По условию, основания являются правильными (равносторонними) треугольниками со стороной $a$. Призма правильная, значит, она прямая, и ее высота $h$ равна длине бокового ребра, например, $h = CC_1$.

Объем призмы вычисляется по формуле:
$V = S_{осн} \cdot h$
где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота призмы.

1. Найдем площадь основания.
Основание – равносторонний треугольник со стороной $a$. Его площадь равна:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту призмы.
Сечение проведено через сторону нижнего основания, например $AB$, и противолежащую ей вершину верхнего основания $C_1$. Сечением является треугольник $ABC_1$.

Угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ равен $60^\circ$. Этот угол является двугранным углом между указанными плоскостями. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла построим перпендикуляры к линии их пересечения $AB$ в одной точке.

Проведем в плоскости основания $(ABC)$ высоту (а также медиану и биссектрису) $CM$ к стороне $AB$. Так как $\triangle ABC$ равносторонний, то $M$ – середина $AB$ и $CM \perp AB$.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Рассмотрим треугольники $\triangle CAC_1$ и $\triangle CBC_1$. Они прямоугольные (углы $\angle C_1CA$ и $\angle C_1CB$ прямые, так как $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания). В этих треугольниках $AC = BC = a$ и катет $CC_1$ общий. Следовательно, $\triangle CAC_1 = \triangle CBC_1$ по двум катетам, откуда их гипотенузы равны: $AC_1 = BC_1$.

Это означает, что сечение $\triangle ABC_1$ является равнобедренным треугольником с основанием $AB$. Его медиана $C_1M$, проведенная к основанию, также является и высотой, то есть $C_1M \perp AB$.

Таким образом, мы имеем два перпендикуляра $CM$ и $C_1M$, проведенные к одной прямой $AB$ в точке $M$. Угол между ними, $\angle C_1MC$, и есть линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle C_1MC = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1CM$. Так как призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $CM$. Следовательно, $\triangle C_1CM$ – прямоугольный, с прямым углом $\angle C_1CM$.

В этом треугольнике:
- $CC_1 = h$ – высота призмы (катет).
- $CM$ – высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a$ (второй катет). Длина $CM$ вычисляется по формуле: $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
- $\angle C_1MC = 60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle C_1CM$ имеем:
$\tan(\angle C_1MC) = \frac{CC_1}{CM}$
$h = CC_1 = CM \cdot \tan(60^\circ)$
Подставим известные значения:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a \cdot 3}{2} = \frac{3a}{2}$

3. Найдем объем призмы.
Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем:
$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$

Ответ: Объем призмы равен $\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$.

458. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма призмы воспользуемся формулой $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Так как призма является правильной шестиугольной, её основания — правильные шестиугольники, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Следовательно, высота призмы $h$ равна длине её бокового ребра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют наибольшая диагональ призмы $(D)$, боковое ребро $(h)$ и наибольшая диагональ основания $(d_{осн})$. В этом треугольнике:

- гипотенузой является наибольшая диагональ призмы $D = 8$ см;

- одним катетом является боковое ребро (высота призмы) $h$;

- вторым катетом является проекция наибольшей диагонали призмы на плоскость основания, то есть наибольшая диагональ основания $d_{осн}$.

По условию задачи, угол между наибольшей диагональю призмы $D$ и боковым ребром $h$ составляет $30^{\circ}$.

Используя тригонометрические функции в данном прямоугольном треугольнике, найдём высоту $h$ и наибольшую диагональ основания $d_{осн}$.

Высота $h$ является катетом, прилежащим к углу $30^{\circ}$, поэтому:

$h = D \cdot \cos(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Наибольшая диагональ основания $d_{осн}$ является катетом, противолежащим углу $30^{\circ}$, поэтому:

$d_{осн} = D \cdot \sin(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Теперь определим параметры основания. В основании лежит правильный шестиугольник. Его наибольшая диагональ связана со стороной $a$ шестиугольника соотношением $d_{осн} = 2a$.

Найдём сторону основания $a$:

$a = \frac{d_{осн}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Подставим найденное значение $a = 2$ см:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объём призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты:

$V = S_{осн} \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 24 \cdot (\sqrt{3})^2 = 24 \cdot 3 = 72$ см$^3$.

Ответ: $72$ см$^3$.

459. Пусть V, r и h соответственно объём, радиус и высота цилиндра. Найдите:

а) Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставим в неё данные из условия: радиус $r=2\sqrt{2}$ см и высоту $h=3$ см.
$V = \pi \cdot (2\sqrt{2})^2 \cdot 3$
Сначала возведём радиус в квадрат: $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$ см?.
Теперь вычислим объём: $V = \pi \cdot 8 \cdot 3 = 24\pi$ см?.
Ответ: $V = 24\pi$ см?.

б) Используем ту же формулу для объёма цилиндра $V = \pi r^2 h$. Нам нужно найти радиус $r$. Выразим $r^2$ из формулы:
$r^2 = \frac{V}{\pi h}$
Подставим известные значения: объём $V=120$ см? и высоту $h=3,6$ см.
$r^2 = \frac{120}{\pi \cdot 3,6} = \frac{1200}{36\pi} = \frac{100}{3\pi}$ см?.
Теперь найдём радиус, извлекая квадратный корень:
$r = \sqrt{\frac{100}{3\pi}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3\pi}} = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}$ см.
Ответ: $r = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}$ см.

в) Снова используем формулу объёма $V = \pi r^2 h$. По условию, радиус равен высоте, то есть $r = h$. Подставим $h$ вместо $r$ в формулу:
$V = \pi \cdot h^2 \cdot h = \pi h^3$.
Теперь выразим $h^3$ из полученной формулы:
$h^3 = \frac{V}{\pi}$.
Подставим известное значение объёма $V = 8\pi$ см?:
$h^3 = \frac{8\pi}{\pi} = 8$ см?.
Чтобы найти высоту, извлечём кубический корень из 8:
$h = \sqrt[3]{8} = 2$ см.
Ответ: $h = 2$ см.

460. Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6 г/см³).

Для решения задачи нам необходимо связать массу, плотность и геометрические размеры провода. Провод представляет собой цилиндр.

Масса тела ($m$) связана с его объемом ($V$) и плотностью ($\rho$) формулой:

$m = \rho \cdot V$

Объем цилиндра вычисляется как произведение площади его основания ($S$) на высоту (в нашем случае, на длину провода $L$):

$V = S \cdot L$

Основание провода — это круг, площадь которого находится по формуле: $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус. Так как радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу для площади можно переписать: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Теперь объединим все формулы в одну:

$m = \rho \cdot S \cdot L = \rho \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot L$

Из этой общей формулы выразим искомую длину провода $L$:

$L = \frac{4m}{\rho \pi d^2}$

Прежде чем подставлять значения в формулу, приведем все данные к единой системе единиц. Поскольку плотность дана в г/см?, переведем массу в граммы, а диаметр — в сантиметры.

1. Преобразование единиц измерения

Масса: $m = 6,8 \text{ кг} = 6,8 \cdot 1000 \text{ г} = 6800 \text{ г}$.

Диаметр: $d = 4 \text{ мм} = 0,4 \text{ см}$.

Плотность алюминия: $\rho = 2,6 \text{ г/см}^3$.

2. Расчет длины провода

Подставим преобразованные значения в формулу для $L$:

$L = \frac{4 \cdot 6800 \text{ г}}{2,6 \text{ г/см}^3 \cdot \pi \cdot (0,4 \text{ см})^2} = \frac{27200}{2,6 \cdot \pi \cdot 0,16} \text{ см} = \frac{27200}{0,416 \cdot \pi} \text{ см}$

Выполним вычисления (используя $\pi \approx 3,14159$):

$L \approx \frac{27200}{0,416 \cdot 3,14159} \text{ см} \approx \frac{27200}{1,3069} \text{ см} \approx 20812,15 \text{ см}$

3. Перевод в метры

Переведем полученную длину из сантиметров в метры, разделив на 100, и округлим результат до сотых:

$L \approx 20812,15 \text{ см} = 208,1215 \text{ м} \approx 208,12 \text{ м}$.

Ответ: $\approx 208,12 \text{ м}$.

461. Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см³?

Для решения задачи необходимо найти объем цилиндрической цистерны, а затем, зная плотность нефти, вычислить ее массу. Масса $m$, объем $V$ и плотность $\rho$ связаны формулой $m = \rho \cdot V$.

1. Найдем объем цистерны.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота.

По условию, диаметр цистерны $d = 18$ м, значит, ее радиус равен:
$r = d / 2 = 18 / 2 = 9$ м.

Высота цистерны $h = 7$ м.

Подставим значения в формулу объема. Для удобства вычислений примем значение $\pi \approx \frac{22}{7}$, так как высота кратна 7:
$V = \frac{22}{7} \cdot (9 \text{ м})^2 \cdot 7 \text{ м} = \frac{22}{7} \cdot 81 \text{ м}^2 \cdot 7 \text{ м} = 22 \cdot 81 \text{ м}^3 = 1782 \text{ м}^3$.

2. Переведем плотность нефти в системные единицы.

Плотность нефти дана в г/см?: $\rho = 0,85 \text{ г/см}^3$. Нам нужно найти массу в тоннах, а объем мы получили в кубических метрах. Поэтому переведем плотность в т/м?.

Зная, что $1 \text{ г/см}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3 = 1 \text{ т/м}^3$, получаем:
$\rho = 0,85 \text{ г/см}^3 = 0,85 \text{ т/м}^3$.

3. Найдем массу нефти.

Теперь можем вычислить массу нефти, которую вмещает цистерна:
$m = \rho \cdot V = 0,85 \text{ т/м}^3 \cdot 1782 \text{ м}^3 = 1514,7$ т.

Ответ: 1514,7 тонн.

462. Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S. Найдите объём цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

По условию задачи, площадь основания цилиндра равна $Q$. Основание цилиндра — это круг, площадь которого вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$. Таким образом, мы имеем первое соотношение:

$Q = \pi R^2$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания ($2R$) и высоте цилиндра ($h$). Площадь этого сечения по условию равна $S$. Таким образом, мы имеем второе соотношение:

$S = 2R \cdot h$

Объём цилиндра $V$ находится по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h = Q \cdot h$

Чтобы найти объём, нам необходимо выразить высоту $h$ через данные величины $Q$ и $S$. Для этого сначала выразим радиус $R$ из формулы для площади основания:

$R^2 = \frac{Q}{\pi} \implies R = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$

Теперь подставим это выражение для $R$ в формулу для площади осевого сечения, чтобы выразить $h$:

$S = 2 \cdot \left(\sqrt{\frac{Q}{\pi}}\right) \cdot h$

Отсюда находим высоту $h$:

$h = \frac{S}{2 \sqrt{\frac{Q}{\pi}}}$

Наконец, подставим найденное выражение для $h$ в формулу объёма $V = Q \cdot h$:

$V = Q \cdot \frac{S}{2 \sqrt{\frac{Q}{\pi}}} = \frac{Q \cdot S}{2 \frac{\sqrt{Q}}{\sqrt{\pi}}}$

Упростим полученное выражение. Учитывая, что $Q = (\sqrt{Q})^2$, имеем:

$V = \frac{\sqrt{Q} \cdot \sqrt{Q} \cdot S \cdot \sqrt{\pi}}{2 \sqrt{Q}} = \frac{\sqrt{Q} \cdot S \cdot \sqrt{\pi}}{2} = \frac{S\sqrt{Q\pi}}{2}$

Ответ: $V = \frac{S\sqrt{Q\pi}}{2}$

463. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см³) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если её длина равна 25 м?

Для нахождения массы свинцовой трубы необходимо сначала вычислить объём её материала, а затем умножить его на плотность свинца. Все вычисления будем проводить в сантиметрах (см) и граммах (г), так как плотность дана в г/см?.

Переведем исходные данные в требуемые единицы измерения:
Плотность свинца: $ \rho = 11.4 \text{ г/см?} $
Длина трубы: $ L = 25 \text{ м} = 25 \times 100 \text{ см} = 2500 \text{ см} $
Толщина стенок: $ t = 4 \text{ мм} = 0.4 \text{ см} $
Внутренний диаметр: $ d_{вн} = 13 \text{ мм} = 1.3 \text{ см} $

Далее вычислим внутренний и внешний радиусы трубы. Внутренний радиус $r$ равен половине внутреннего диаметра:
$ r = \frac{d_{вн}}{2} = \frac{1.3 \text{ см}}{2} = 0.65 \text{ см} $
Внешний радиус $R$ вычисляется как сумма внутреннего радиуса и толщины стенки:
$ R = r + t = 0.65 \text{ см} + 0.4 \text{ см} = 1.05 \text{ см} $

Теперь рассчитаем объем свинца в трубе. Объем материала трубы $V$ — это объем полого цилиндра, который находится по формуле:
$ V = \pi(R^2 - r^2)L $
Подставим в формулу известные значения:
$ V = \pi \cdot ((1.05 \text{ см})^2 - (0.65 \text{ см})^2) \cdot 2500 \text{ см} $
$ V = \pi \cdot (1.1025 \text{ см?} - 0.4225 \text{ см?}) \cdot 2500 \text{ см} $
$ V = \pi \cdot 0.68 \text{ см?} \cdot 2500 \text{ см} = 1700\pi \text{ см?} $

На последнем шаге вычислим массу трубы $m$ по формуле $ m = \rho \cdot V $:
$ m = 11.4 \frac{\text{г}}{\text{см?}} \cdot 1700\pi \text{ см?} = 19380\pi \text{ г} $
Примем значение $ \pi \approx 3.14159 $ и вычислим числовое значение массы:
$ m \approx 19380 \cdot 3.14159 \approx 60884.6 \text{ г} $
Переведем массу в килограммы (1 кг = 1000 г):
$ m \approx \frac{60884.6 \text{ г}}{1000} \approx 60.88 \text{ кг} $
Округлив результат до десятых, получаем итоговое значение.

Ответ: масса трубы составляет примерно 60,9 кг.

464. В цилиндр вписана правильная n-угольная призма. Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n — произвольное целое число.

Для решения задачи найдем общую формулу для отношения объёма правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр, к объёму этого цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а высота — $h$. Тогда объём цилиндра $V_{цил}$ равен: $V_{цил} = S_{осн.цил} \cdot h = \pi R^2 h$.

Так как призма вписана в цилиндр, её высота также равна $h$, а основанием является правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Объём призмы $V_{пр}$ равен: $V_{пр} = S_{осн.пр} \cdot h$, где $S_{осн.пр}$ — площадь правильного n-угольника в основании.

Искомое отношение объёмов не зависит от высоты $h$ и равно отношению площадей оснований: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{S_{осн.пр} \cdot h}{\pi R^2 h} = \frac{S_{осн.пр}}{\pi R^2}$.

Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, можно найти, разбив его на $n$ равных равнобедренных треугольников с вершиной в центре окружности. Боковые стороны каждого треугольника равны $R$, а угол между ними равен $\frac{2\pi}{n}$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2}R^2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$. Тогда площадь всего n-угольника: $S_{осн.пр} = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$.

Подставив эту формулу в отношение, получим общую формулу для отношения объёмов: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{\pi R^2} = \frac{n \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2\pi}$.

Теперь, используя эту общую формулу, решим каждый подпункт.

а) n = 3

В основании призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник. Подставим $n=3$ в общую формулу: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{3 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{2\pi}$.

Так как $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

б) n = 4

В основании призмы лежит правильный четырехугольник (квадрат). Подставим $n=4$ в общую формулу: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{4 \sin\left(\frac{2\pi}{4}\right)}{2\pi} = \frac{4 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2\pi}$.

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin(90^\circ) = 1$, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{4 \cdot 1}{2\pi} = \frac{2}{\pi}$.

Ответ: $\frac{2}{\pi}$.

в) n = 6

В основании призмы лежит правильный шестиугольник. Подставим $n=6$ в общую формулу: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{6 \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)}{2\pi} = \frac{6 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2\pi}$.

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.

г) n = 8

В основании призмы лежит правильный восьмиугольник. Подставим $n=8$ в общую формулу: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{8 \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right)}{2\pi} = \frac{8 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2\pi}$.

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\pi} = \frac{4\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$.

д) n — произвольное целое число

Для произвольного целого числа $n \ge 3$ мы уже вывели общую формулу в начале решения. Отношение объёма призмы к объёму цилиндра равно отношению площадей их оснований, поскольку их высоты равны.

Площадь основания цилиндра (круга радиуса $R$): $S_{осн.цил} = \pi R^2$.

Площадь основания призмы (правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$): $S_{осн.пр} = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$.

Следовательно, искомое отношение равно: $\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{\pi R^2} = \frac{n \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2\pi}$.

Ответ: $\frac{n \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2\pi}$.

465. В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему углом α. Найдите объём цилиндра, если высота призмы равна h.

Для нахождения объема цилиндра воспользуемся формулой $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Так как по условию призма вписана в цилиндр, их высоты совпадают. Следовательно, высота цилиндра $H$ равна высоте призмы $h$.

$H = h$

Основанием призмы является прямоугольный треугольник, который вписан в основание цилиндра (круг). Это означает, что окружность основания цилиндра является описанной окружностью для данного прямоугольного треугольника.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы. Таким образом, радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы $c$.

$R = \frac{c}{2}$

Найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника. По условию, нам дан катет $a$ и прилежащий к нему острый угол $\alpha$. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{a}{c}$

Из этого соотношения выразим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Теперь мы можем найти радиус основания цилиндра:

$R = \frac{c}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{2\cos(\alpha)}$

Площадь основания цилиндра (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$. Подставим в нее найденное выражение для радиуса:

$S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2\cos(\alpha)}\right)^2 = \pi \frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)}$

Наконец, вычислим объем цилиндра, подставив выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{\pi a^2}{4\cos^2(\alpha)}\right) \cdot h = \frac{\pi a^2 h}{4\cos^2(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^2 h}{4\cos^2(\alpha)}$