Страница 131 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

472. Основанием наклонной призмы ABCА₁В₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 7 см и АС = 24 см. Вершина А₁ равноудалена от вершин А, В и С. Найдите объём призмы, если ребро AA₁ составляет с плоскостью основания угол в 45°.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB = 7$ см и $AC = 24$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84$ см?.

2. Нахождение высоты призмы

Пусть $A_1O$ — высота призмы, опущенная из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$. Тогда $H = A_1O$.

По условию, вершина $A_1$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$, то есть отрезки $A_1A$, $A_1B$ и $A_1C$ равны. Эти отрезки являются наклонными к плоскости основания, а отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ — их проекциями. Так как наклонные равны, то равны и их проекции: $OA = OB = OC$.

Это означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный, центр его описанной окружности лежит на середине гипотенузы $BC$.

Найдем гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ см.

Проекцией бокового ребра $AA_1$ на плоскость основания является отрезок $OA$. Длина этого отрезка равна радиусу описанной окружности $R$:

$OA = R = \frac{BC}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Угол между ребром $AA_1$ и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость, то есть угол $\angle A_1AO$. По условию, $\angle A_1AO = 45°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$ (угол $\angle A_1OA = 90°$). Так как один из его острых углов равен $45°$, то этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $H = A_1O = OA$.

Следовательно, высота призмы $H = 12.5$ см.

3. Вычисление объёма призмы

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 84 \cdot 12.5 = 84 \cdot \frac{25}{2} = 42 \cdot 25 = 1050$ см?.

Ответ: 1050 см?.

473. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами а и b. Боковое ребро длины с составляет со смежными сторонами основания углы, равные φ. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Нахождение площади основания

Основанием параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его площадь $S_{осн}$ вычисляется как произведение длин его сторон:

$S_{осн} = a \cdot b$

2. Нахождение высоты параллелепипеда

Для нахождения высоты $H$ введем трехмерную декартову систему координат. Расположим одну из вершин основания в начале координат $A(0, 0, 0)$. Пусть стороны основания $AB$ и $AD$ лежат на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Тогда векторы, соответствующие этим сторонам, будут $\vec{AB} = \{a, 0, 0\}$ и $\vec{AD} = \{0, b, 0\}$.

Пусть боковое ребро, выходящее из вершины $A$, будет $AA_1$. Его длина по условию равна $c$. Обозначим координаты точки $A_1$ как $(x, y, z)$. Тогда вектор бокового ребра $\vec{AA_1} = \{x, y, z\}$. Высота параллелепипеда $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A_1$ на плоскость основания $Oxy$, следовательно, $H = |z|$. Длина вектора $\vec{AA_1}$ равна $c$, поэтому:

$|\vec{AA_1}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = c$

По условию, боковое ребро $AA_1$ составляет со смежными сторонами основания $AB$ и $AD$ углы, равные $\phi$. Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Найдем скалярное произведение вектора $\vec{AA_1}$ и вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = ax$

С другой стороны:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos(\phi) = c \cdot a \cdot \cos(\phi)$

Приравнивая эти два выражения, получаем $ax = ca \cos(\phi)$, откуда $x = c \cos(\phi)$.

Аналогично для векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = x \cdot 0 + y \cdot b + z \cdot 0 = by$

С другой стороны:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\phi) = c \cdot b \cdot \cos(\phi)$

Приравнивая, получаем $by = cb \cos(\phi)$, откуда $y = c \cos(\phi)$.

Теперь мы можем найти $z$ (высоту $H$) из уравнения длины вектора $\vec{AA_1}$:

$x^2 + y^2 + z^2 = c^2$

Подставляем найденные значения $x$ и $y$:

$(c \cos(\phi))^2 + (c \cos(\phi))^2 + z^2 = c^2$

$c^2 \cos^2(\phi) + c^2 \cos^2(\phi) + z^2 = c^2$

$2c^2 \cos^2(\phi) + z^2 = c^2$

$z^2 = c^2 - 2c^2 \cos^2(\phi) = c^2(1 - 2\cos^2(\phi))$

Поскольку высота $H$ должна быть положительной величиной ($H = z$), извлекаем квадратный корень:

$H = \sqrt{c^2(1 - 2\cos^2(\phi))} = c\sqrt{1 - 2\cos^2(\phi)}$

Стоит отметить, что для существования такого параллелепипеда необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $1 - 2\cos^2(\phi) \ge 0$, что выполняется при $\cos^2(\phi) \le 1/2$, то есть при $\phi \ge 45^\circ$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\phi) = 2\cos^2(\phi) - 1$, выражение для высоты можно записать как $H = c\sqrt{-\cos(2\phi)}$.

3. Вычисление объема параллелепипеда

Теперь подставляем найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в исходную формулу для объема:

$V = S_{осн} \cdot H = (ab) \cdot (c\sqrt{1 - 2\cos^2(\phi)})$

$V = abc\sqrt{1 - 2\cos^2(\phi)}$

Ответ: $V = abc\sqrt{1 - 2\cos^2(\phi)}$.

474. Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объём параллелепипеда.

Поскольку все грани параллелепипеда — равные ромбы, такой многогранник называется ромбоэдром. Все его ребра равны между собой. Найдем сначала характеристики одной грани (ромба).

Пусть диагонали ромба равны $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Сторону ромба $a$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей:

$a = \sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt{(6/2)^2 + (8/2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Таким образом, все ребра параллелепипеда равны $a = 5$ см.

Площадь ромба (которая будет площадью основания $S_{осн}$) равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота. Высота зависит от того, как ромбы соединены в пространстве, то есть от величины плоских углов при вершинах параллелепипеда. У ромба есть два острых и два тупых угла (если это не квадрат).

Найдем косинус острого угла $\alpha$ ромба. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба $a$ и меньшей диагональю $d_1$:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \alpha$

$6^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5^2 \cos \alpha$

$36 = 50 - 50 \cos \alpha$

$50 \cos \alpha = 14$

$\cos \alpha = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$

Косинус тупого угла $\beta$ будет $\cos \beta = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha = -\frac{7}{25}$.

Поскольку в условии не указано, какие именно углы (острые или тупые) сходятся в вершинах параллелепипеда, существует два основных типа ромбоэдров, которые можно составить из данных ромбов.

В этом случае в двух противоположных вершинах параллелепипеда сходятся три острых угла $\alpha$ ромбов. Объем такого ромбоэдра можно найти по формуле:

$V_1 = a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha}$

Подставим наши значения $a=5$ и $\cos\alpha = 7/25$:

$V_1 = 5^3 \sqrt{1 - 3\left(\frac{7}{25}\right)^2 + 2\left(\frac{7}{25}\right)^3} = 125 \sqrt{1 - 3\frac{49}{625} + 2\frac{343}{15625}}$

$V_1 = 125 \sqrt{\frac{15625 - 3 \cdot 49 \cdot 25 + 2 \cdot 343}{15625}} = 125 \frac{\sqrt{15625 - 3675 + 686}}{125}$

$V_1 = \sqrt{12636} = \sqrt{324 \cdot 39} = 18\sqrt{39}$ см³.

Ответ: $18\sqrt{39}$ см³.

В этом случае в двух противоположных вершинах параллелепипеда сходятся три тупых угла $\beta$ ромбов. Формула для объема будет аналогичной, но с использованием $\cos\beta$:

$V_2 = a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\beta + 2\cos^3\beta}$

Подставим наши значения $a=5$ и $\cos\beta = -7/25$:

$V_2 = 5^3 \sqrt{1 - 3\left(-\frac{7}{25}\right)^2 + 2\left(-\frac{7}{25}\right)^3} = 125 \sqrt{1 - 3\frac{49}{625} - 2\frac{343}{15625}}$

$V_2 = 125 \sqrt{\frac{15625 - 3 \cdot 49 \cdot 25 - 2 \cdot 343}{15625}} = 125 \frac{\sqrt{15625 - 3675 - 686}}{125}$

$V_2 = \sqrt{11264} = \sqrt{1024 \cdot 11} = 32\sqrt{11}$ см³.

Ответ: $32\sqrt{11}$ см³.

475. Докажите, что объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым рёбрам и пересекающей их.

Пусть дана наклонная призма. Обозначим её объём через $V$, длину бокового ребра — через $l$, а площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам, — через $S_{\text{сеч}}$. Такое сечение также называют перпендикулярным или нормальным сечением. Требуется доказать, что объём призмы вычисляется по формуле:$V = l \cdot S_{\text{сеч}}$

Для доказательства воспользуемся принципом Кавальери.

Рассмотрим данную наклонную призму. Вместе с ней рассмотрим прямую призму, основанием которой является многоугольник, равный перпендикулярному сечению наклонной призмы (соответственно, площадь этого основания равна $S_{\text{сеч}}$), а высота этой прямой призмы равна длине бокового ребра наклонной призмы, то есть $l$.

Объём такой прямой призмы, по определению, равен произведению площади её основания на высоту:$V_{\text{прямая}} = S_{\text{сеч}} \cdot l$

Теперь сравним объёмы наклонной и построенной прямой призмы. Расположим обе призмы таким образом, чтобы их «простирание» в пространстве было сонаправлено. То есть, боковые рёбра наклонной призмы будут параллельны высоте прямой призмы.

Проведём произвольную плоскость, параллельную основанию прямой призмы. По построению, эта плоскость будет также перпендикулярна боковым рёбрам наклонной призмы. Эта плоскость пересечёт обе призмы.

Площадь сечения прямой призмы этой плоскостью будет равна площади её основания, то есть $S_{\text{сеч}}$.

Площадь сечения наклонной призмы этой же плоскостью по определению является площадью перпендикулярного сечения. Все перпендикулярные сечения одной и той же призмы равны между собой, следовательно, площадь этого сечения также равна $S_{\text{сеч}}$.

Итак, любая плоскость, перпендикулярная боковым рёбрам наклонной призмы, пересекает обе призмы по фигурам с равными площадями.

Согласно принципу Кавальери, если два тела имеют такую особенность, что площади их сечений плоскостями, параллельными некоторой фиксированной плоскости, равны для любой из этих плоскостей, то объёмы этих тел равны.

В нашем случае это условие выполняется. Следовательно, объём наклонной призмы $V$ равен объёму построенной прямой призмы $V_{\text{прямая}}$:$V = V_{\text{прямая}} = l \cdot S_{\text{сеч}}$

Таким образом, утверждение, что объём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного сечения, доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Объём $V$ наклонной призмы действительно равен произведению длины её бокового ребра $l$ на площадь $S_{\text{сеч}}$ сечения, перпендикулярного боковым рёбрам: $V = l \cdot S_{\text{сеч}}$.

476. Найдите объём наклонной треугольной призмы, если расстояния между её боковыми рёбрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а площадь боковой поверхности равна 480 см².

Объём наклонной призмы ($V$) можно найти как произведение площади её перпендикулярного сечения ($S_{\perp}$) на длину бокового ребра ($l$): $V = S_{\perp} \cdot l$.

Перпендикулярное сечение данной призмы представляет собой треугольник, стороны которого равны заданным расстояниям между боковыми рёбрами: $a = 37$ см, $b = 13$ см, $c = 30$ см.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) связана с периметром перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$) и длиной бокового ребра ($l$) формулой $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$. Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти длину бокового ребра.

Сначала вычислим периметр перпендикулярного сечения:
$P_{\perp} = a + b + c = 37 + 13 + 30 = 80$ см.

Зная площадь боковой поверхности $S_{бок} = 480$ см?, найдём длину бокового ребра:
$l = \frac{S_{бок}}{P_{\perp}} = \frac{480}{80} = 6$ см.

Теперь найдём площадь перпендикулярного сечения ($S_{\perp}$), используя формулу Герона для треугольника со сторонами 37, 13 и 30. Полупериметр ($p$) равен:
$p = \frac{P_{\perp}}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.
Площадь сечения:
$S_{\perp} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{40(40-37)(40-13)(40-30)}$
$S_{\perp} = \sqrt{40 \cdot 3 \cdot 27 \cdot 10} = \sqrt{32400} = 180$ см?.

Наконец, вычислим объём призмы:
$V = S_{\perp} \cdot l = 180 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 1080 \text{ см}^3$.

Ответ: $1080 \text{ см}^3$.

477. Найдите объём пирамиды с высотой h, если:

а) h = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м;

б) h = 2,2 м, а основанием служит треугольник ABC, в котором AB = 20 см, ВС = 13,5 см, ∠ABC = 30°.

а)

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

По условию, высота пирамиды $h = 2$ м, а основанием служит квадрат со стороной $a = 3$ м.

1. Сначала найдём площадь основания. Так как основание — это квадрат, его площадь вычисляется по формуле $S = a^2$:
$S_{осн} = 3^2 = 9$ м².

2. Теперь можем вычислить объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6$ м³.

Ответ: 6 м³.

б)

По условию, высота пирамиды $h = 2,2$ м. Основанием является треугольник $ABC$, в котором $AB = 20$ см, $BC = 13,5$ см и угол между этими сторонами $\angle ABC = 30^\circ$.

1. Для корректного расчёта объёма необходимо, чтобы все линейные размеры были в одинаковых единицах измерения. Переведём длины сторон основания из сантиметров в метры:
$AB = 20$ см $= 0,2$ м.
$BC = 13,5$ см $= 0,135$ м.

2. Найдём площадь основания. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot 0,135 \cdot \sin(30^\circ)$.

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot 0,135 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot 0,2 \cdot 0,135 = 0,05 \cdot 0,135 = 0,00675$ м².

3. Теперь вычислим объём пирамиды, используя найденную площадь основания и заданную высоту:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}h = \frac{1}{3} \cdot 0,00675 \cdot 2,2 = 0,00225 \cdot 2,2 = 0,00495$ м³.

Ответ: 0,00495 м³.

478. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}H$,
где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — её высота.

В условии сказано, что пирамида является правильной треугольной. Это означает, что в её основании лежит правильный (равносторонний) треугольник. Высота пирамиды дана и равна $H = 12$ см, а сторона основания равна $a = 13$ см.

Сначала найдём площадь основания. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны основания $a = 13$ см:
$S_{осн} = \frac{13^2\sqrt{3}}{4} = \frac{169\sqrt{3}}{4}$ см?.

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем рассчитать объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{169\sqrt{3}}{4} \cdot 12$.

Выполним вычисления:
$V = \frac{169\sqrt{3} \cdot 12}{3 \cdot 4} = \frac{169\sqrt{3} \cdot 12}{12} = 169\sqrt{3}$ см?.

Ответ: $169\sqrt{3}$ см?.

479. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l, если:

а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ;

б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол α;

в) плоский угол при вершине равен β.

Объем правильной треугольной пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Пусть его сторона равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Высота пирамиды $H$ проектируется в центр основания $O$. Расстояние от центра основания до его вершины (радиус описанной окружности) равно $R$. Для равностороннего треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $l$ и радиус $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Следовательно, они связаны соотношением $H^2 + R^2 = l^2$. Для решения задачи в каждом пункте необходимо выразить сторону основания $a$ и высоту $H$ через длину бокового ребра $l$ и заданный угол.

а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ?;
Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость ($OA$). Таким образом, в прямоугольном треугольнике $SAO$ (где $SO=H$, $OA=R$, $SA=l$) угол $\angle SAO = \phi$. Из этого треугольника находим высоту $H$ и радиус $R$:
$H = SO = SA \cdot \sin(\angle SAO) = l \sin(\phi)$
$R = OA = SA \cdot \cos(\angle SAO) = l \cos(\phi)$
Зная радиус описанной окружности $R$, находим сторону основания $a$:
$a = R\sqrt{3} = l\sqrt{3}\cos(\phi)$
Теперь можем вычислить площадь основания:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(l\sqrt{3}\cos(\phi))^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3l^2\cos^2(\phi)\sqrt{3}}{4}$
Наконец, находим объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}l^2\cos^2(\phi)}{4} \cdot l\sin(\phi) = \frac{\sqrt{3}}{4}l^3\cos^2(\phi)\sin(\phi)$.
Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}}{4}l^3\cos^2(\phi)\sin(\phi)$.

б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол ?;
Рассмотрим боковую грань пирамиды, например, треугольник $SAB$. Это равнобедренный треугольник, так как боковые ребра равны ($SA=SB=l$). Угол между боковым ребром $SA$ и прилежащей стороной основания $AB$ по условию равен $\alpha$, то есть $\angle SAB = \alpha$. Так как $\triangle SAB$ равнобедренный, то и $\angle SBA = \alpha$. Третий угол треугольника, $\angle ASB = 180^\circ - 2\alpha$. Найдем сторону основания $a = AB$ по теореме синусов в $\triangle SAB$:
$\frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = \frac{l}{\sin\alpha} \implies a = \frac{l\sin(2\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{l \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2l\cos\alpha$.
Теперь, зная сторону основания $a$, найдем радиус описанной окружности $R$ и высоту $H$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2l\cos\alpha}{\sqrt{3}}$
$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{2l\cos\alpha}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{l^2 - \frac{4l^2\cos^2\alpha}{3}} = l\sqrt{\frac{3 - 4\cos^2\alpha}{3}}$.
Для существования пирамиды необходимо, чтобы $3 - 4\cos^2\alpha \ge 0$, то есть $\alpha \ge 30^\circ$.
Вычислим объем:
$V = \frac{1}{3} \frac{a^2\sqrt{3}}{4} H = \frac{1}{3} \frac{(2l\cos\alpha)^2\sqrt{3}}{4} l\sqrt{\frac{3 - 4\cos^2\alpha}{3}} = \frac{1}{3} \frac{4l^2\cos^2\alpha\sqrt{3}}{4} \frac{l\sqrt{3 - 4\cos^2\alpha}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}l^3\cos^2\alpha\sqrt{3 - 4\cos^2\alpha}$.
Ответ: $V = \frac{1}{3}l^3\cos^2(\alpha)\sqrt{3 - 4\cos^2(\alpha)}$.

в) плоский угол при вершине равен ?.
Плоский угол при вершине — это угол между боковыми ребрами в боковой грани, например, $\angle ASB = \beta$. Рассмотрим боковую грань, равнобедренный треугольник $SAB$ ($SA=SB=l$). Найдем сторону основания $a=AB$ по теореме косинусов:
$a^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cos\beta = 2l^2(1 - \cos\beta)$.
Площадь основания $S_{осн}$:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2l^2(1 - \cos\beta)\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}l^2(1 - \cos\beta)$.
Найдем радиус описанной окружности $R$ и высоту $H$:
$R^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{3} = \frac{2l^2(1 - \cos\beta)}{3}$.
$H^2 = l^2 - R^2 = l^2 - \frac{2l^2(1 - \cos\beta)}{3} = \frac{3l^2 - 2l^2 + 2l^2\cos\beta}{3} = \frac{l^2(1 + 2\cos\beta)}{3}$.
$H = l\sqrt{\frac{1 + 2\cos\beta}{3}}$.
Для существования пирамиды необходимо, чтобы $1+2\cos\beta \ge 0$, то есть $\cos\beta \ge -1/2$, что означает $\beta \le 120^\circ$. Также сумма плоских углов при вершине должна быть меньше $360^\circ$, т.е. $3\beta < 360^\circ \implies \beta < 120^\circ$.
Вычислим объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}l^2(1 - \cos\beta) \cdot l\sqrt{\frac{1 + 2\cos\beta}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}l^3(1 - \cos\beta)\frac{\sqrt{1 + 2\cos\beta}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{6}l^3(1 - \cos\beta)\sqrt{1 + 2\cos\beta}$.
Ответ: $V = \frac{1}{6}l^3(1 - \cos\beta)\sqrt{1 + 2\cos\beta}$.

480. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен φ, а сторона основания равна а. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $S$ — вершина, а $ABC$ — основание. Основание $ABC$ является правильным (равносторонним) треугольником со стороной $a$. Плоский угол при вершине — это угол при вершине $S$ в каждой боковой грани, то есть $\angle BSC = \angle CSA = \angle ASB = \phi$. Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$

Основание — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем высоту пирамиды $H$

Высота пирамиды $H$ — это отрезок $SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника $ABC$).

Рассмотрим боковую грань $SBC$. Это равнобедренный треугольник с основанием $BC=a$ и боковыми сторонами $SB = SC$. Угол при вершине $\angle BSC = \phi$. Проведем в этом треугольнике высоту (апофему пирамиды) $SM$ к основанию $BC$. Так как треугольник $SBC$ равнобедренный, $SM$ является также медианой и биссектрисой, поэтому $M$ — середина $BC$, $BM = \frac{a}{2}$, и $\angle BSM = \frac{\phi}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SMB$ найдем длину апофемы $SM$:

$\mathrm{tg}(\angle BSM) = \frac{BM}{SM} \implies \mathrm{tg}\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{a/2}{SM}$

$SM = \frac{a}{2 \cdot \mathrm{tg}(\frac{\phi}{2})} = \frac{a}{2}\mathrm{ctg}\left(\frac{\phi}{2}\right)$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. Катет $SO$ — это искомая высота $H$. Катет $OM$ — это радиус вписанной в основание $ABC$ окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен:

$OM = r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$ ($SM$ — гипотенуза):

$H^2 = SO^2 = SM^2 - OM^2$

$H^2 = \left(\frac{a}{2}\mathrm{ctg}\left(\frac{\phi}{2}\right)\right)^2 - \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\mathrm{ctg}^2\left(\frac{\phi}{2}\right) - \frac{a^2}{12} = \frac{a^2}{4}\left(\mathrm{ctg}^2\left(\frac{\phi}{2}\right) - \frac{1}{3}\right)$

$H^2 = \frac{a^2}{4}\left(\frac{\cos^2(\phi/2)}{\sin^2(\phi/2)} - \frac{1}{3}\right) = \frac{a^2}{4}\left(\frac{3\cos^2(\phi/2) - \sin^2(\phi/2)}{3\sin^2(\phi/2)}\right)$

Используем тригонометрические тождества: $\cos^2(\alpha) = 1-\sin^2(\alpha)$ и $\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha) \implies 2\sin^2(\alpha)=1-\cos(2\alpha)$.

$3\cos^2(\phi/2) - \sin^2(\phi/2) = 3(1-\sin^2(\phi/2)) - \sin^2(\phi/2) = 3 - 4\sin^2(\phi/2) = 3 - 2(1-\cos\phi) = 1+2\cos\phi$.

$H^2 = \frac{a^2}{4} \frac{1+2\cos\phi}{3\sin^2(\phi/2)} = \frac{a^2(1+2\cos\phi)}{12\sin^2(\phi/2)}$

Отсюда высота $H$ равна:

$H = \sqrt{\frac{a^2(1+2\cos\phi)}{12\sin^2(\phi/2)}} = \frac{a\sqrt{1+2\cos\phi}}{2\sqrt{3}\sin(\phi/2)}$

Для существования пирамиды высота должна быть действительным числом, т.е. $1+2\cos\phi > 0 \implies \cos\phi > -1/2$, что означает $0 < \phi < 2\pi/3$.

3. Найдем объём пирамиды $V$

Подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{1+2\cos\phi}}{2\sqrt{3}\sin(\phi/2)}$

$V = \frac{a^3\sqrt{3}\sqrt{1+2\cos\phi}}{24\sqrt{3}\sin(\phi/2)} = \frac{a^3\sqrt{1+2\cos\phi}}{24\sin(\phi/2)}$

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{1+2\cos\phi}}{24\sin(\phi/2)}$

481. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если:

а) её высота равна Н, а двугранный угол при основании равен β;

б) сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен α.

а) Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$. Высота пирамиды по условию равна $H$.

Двугранный угол при основании — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Рассмотрим линейный угол этого двугранного угла. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABCD$ — квадрат в основании, $O$ — центр квадрата (точка пересечения диагоналей). Тогда $SO$ — высота пирамиды, $SO = H$.

Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OM$ к стороне основания $CD$. $M$ будет серединой $CD$. $OM$ является проекцией наклонной $SM$ (апофемы) на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, $SM \perp CD$. Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при основании, и по условию $\angle SMO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$). Катет $SO = H$, а катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = \frac{a}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\mathrm{ctg}\,\beta = \frac{OM}{SO} = \frac{a/2}{H}$

Отсюда выразим сторону основания $a$:

$\frac{a}{2} = H \cdot \mathrm{ctg}\,\beta \implies a = 2H \cdot \mathrm{ctg}\,\beta$

Теперь найдем площадь основания:

$S_{осн} = a^2 = (2H \cdot \mathrm{ctg}\,\beta)^2 = 4H^2 \mathrm{ctg}^2\beta$

Наконец, вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} (4H^2 \mathrm{ctg}^2\beta) \cdot H = \frac{4}{3}H^3 \mathrm{ctg}^2\beta$

Ответ: $V = \frac{4}{3}H^3 \mathrm{ctg}^2\beta$

б) Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

По условию, сторона основания (квадрата) равна $m$. Следовательно, площадь основания $S_{осн} = m^2$.

Плоский угол при вершине — это угол при вершине боковой грани. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $\triangle SDC$ — одна из боковых граней. По условию, $\angle DSC = \alpha$. $\triangle SDC$ — равнобедренный, с основанием $DC=m$ и боковыми сторонами $SD=SC$.

Чтобы найти объем, нам нужно определить высоту пирамиды $H = SO$. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SKC$ и $\triangle SOK$, где $O$ — центр основания, а $K$ — середина стороны $CD$.

1. В равнобедренном треугольнике $\triangle SDC$ отрезок $SK$ является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, $SK$ — апофема пирамиды. В прямоугольном треугольнике $\triangle SKC$: $KC = \frac{DC}{2} = \frac{m}{2}$ и $\angle KSC = \frac{\angle DSC}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Найдем апофему $SK$ из $\triangle SKC$:

$\mathrm{ctg}(\angle KSC) = \frac{SK}{KC} \implies \mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{SK}{m/2} \implies SK = \frac{m}{2}\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$. Катет $SO$ — это высота пирамиды $H$. Катет $OK$ равен половине стороны основания: $OK = \frac{m}{2}$. Гипотенуза $SK$ — это апофема, которую мы нашли.

По теореме Пифагора $SO^2 + OK^2 = SK^2$:

$H^2 = SK^2 - OK^2 = \left(\frac{m}{2}\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}\right)^2 - \left(\frac{m}{2}\right)^2 = \frac{m^2}{4}\left(\mathrm{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1\right)$

Используем тригонометрическое тождество $\mathrm{ctg}^2x - 1 = \frac{\cos^2x - \sin^2x}{\sin^2x} = \frac{\cos(2x)}{\sin^2x}$.

$H^2 = \frac{m^2}{4} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin^2(\alpha/2)}$

$H = \sqrt{\frac{m^2\cos\alpha}{4\sin^2(\alpha/2)}} = \frac{m\sqrt{\cos\alpha}}{2\sin(\alpha/2)}$ (высота существует при $\cos\alpha > 0$, то есть $0 < \alpha < \pi/2$).

Теперь вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} m^2 \cdot \frac{m\sqrt{\cos\alpha}}{2\sin(\alpha/2)} = \frac{m^3\sqrt{\cos\alpha}}{6\sin(\alpha/2)}$

Ответ: $V = \frac{m^3\sqrt{\cos\alpha}}{6\sin(\alpha/2)}$