Страница 138 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

518. Площади трёх попарно смежных граней прямоугольного параллелепипеда равны S₁, S₂, S₃. Выразите объём этого параллелепипеда через S₁, S₂, S₃ и вычислите его при S₁ = 6 дм², S₂ = 12 дм², S₃ = 18 дм².

Выражение объёма параллелепипеда через S?, S?, S?

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$.

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
$V = a \cdot b \cdot c$

Площади трёх попарно смежных граней, которые имеют общую вершину, выражаются через его измерения следующим образом:
$S_1 = a \cdot b$
$S_2 = a \cdot c$
$S_3 = b \cdot c$

Чтобы связать эти площади с объёмом, перемножим их между собой:
$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b) \cdot (a \cdot c) \cdot (b \cdot c)$

Сгруппируем одинаковые множители в правой части уравнения:
$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot c \cdot c = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = (a \cdot b \cdot c)^2$

Поскольку объём $V = a \cdot b \cdot c$, мы можем заменить произведение в скобках на $V$:
$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = V^2$

Чтобы выразить объём $V$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как объём — величина положительная, мы берём только положительное значение корня.
$V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$

Ответ: $V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}$.

Вычисление объёма при S? = 6 дм?, S? = 12 дм?, S? = 18 дм?

Теперь воспользуемся выведенной формулой для расчёта объёма с заданными значениями площадей.
Подставим значения $S_1 = 6$, $S_2 = 12$ и $S_3 = 18$ в формулу:
$V = \sqrt{6 \cdot 12 \cdot 18}$

Вычислим произведение под корнем:
$6 \cdot 12 \cdot 18 = 72 \cdot 18 = 1296$
Для удобства извлечения корня можно разложить числа на множители:
$6 \cdot 12 \cdot 18 = (6) \cdot (2 \cdot 6) \cdot (3 \cdot 6) = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^2 \cdot 6^2 = 36^2$

Найдём значение объёма:
$V = \sqrt{1296} = \sqrt{36^2} = 36$

Поскольку площади были даны в квадратных дециметрах (дм?), объём измеряется в кубических дециметрах (дм?).

Ответ: 36 дм?.

519. В прямоугольном параллелепипеде диагонали трёх граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. Три грани, которые сходятся в одной вершине, имеют размеры $a \times b$, $b \times c$ и $c \times a$.

Диагональ прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ находится по теореме Пифагора как $\sqrt{x^2 + y^2}$. Следовательно, квадраты диагоналей трех граней, выходящих из одной вершины, равны:

$d_1^2 = a^2 + b^2$

$d_2^2 = b^2 + c^2$

$d_3^2 = c^2 + a^2$

По условию задачи, длины этих диагоналей равны 7 см, 8 см и 9 см. Составим систему уравнений, подставив квадраты этих длин:

$a^2 + b^2 = 7^2 = 49$ (1)

$b^2 + c^2 = 8^2 = 64$ (2)

$c^2 + a^2 = 9^2 = 81$ (3)

Чтобы решить эту систему, сложим все три уравнения:

$(a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (c^2 + a^2) = 49 + 64 + 81$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 194$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a^2 + b^2 + c^2 = 97$ (4)

Теперь мы можем найти значения $a^2$, $b^2$ и $c^2$, вычитая из уравнения (4) поочередно уравнения (2), (3) и (1):

$a^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (b^2 + c^2) = 97 - 64 = 33$

$b^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (c^2 + a^2) = 97 - 81 = 16$

$c^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2) = 97 - 49 = 48$

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Чтобы найти объём, нам не обязательно находить сами стороны $a, b, c$. Мы можем найти квадрат объёма:

$V^2 = (a \cdot b \cdot c)^2 = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2$

Подставим найденные значения $a^2, b^2, c^2$:

$V^2 = 33 \cdot 16 \cdot 48$

Разложим числа на простые множители для удобства извлечения корня:

$V^2 = (3 \cdot 11) \cdot 16 \cdot (16 \cdot 3) = 16^2 \cdot 3^2 \cdot 11 = (16 \cdot 3)^2 \cdot 11 = 48^2 \cdot 11$

Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей, чтобы найти объём $V$:

$V = \sqrt{48^2 \cdot 11} = 48\sqrt{11}$

Объём измеряется в кубических сантиметрах (см?).

Ответ: $48\sqrt{11}$ см$^3$.

520. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно а. Сечение, проведённое через две стороны разных оснований, является квадратом с площадью Q. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, у которого боковое ребро (высота) равно $a$. Обозначим стороны его прямоугольного основания как $b$ и $c$. Объём такого параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

В условии сказано, что сечение проведено через две стороны разных оснований. Рассмотрим сечение, проходящее через сторону нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, которые не лежат в одной боковой грани. Например, пусть стороны основания $ABCD$ это $AB=CD=b$ и $AD=BC=c$. Тогда сечение можно провести через сторону $CD$ нижнего основания и сторону $A_1B_1$ верхнего основания. Получим сечение $A_1B_1CD$.

Данное сечение $A_1B_1CD$ является параллелограммом, так как стороны $A_1B_1$ и $CD$ параллельны и равны. Докажем, что это прямоугольник. Поскольку параллелепипед прямоугольный, его боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, ребро $AA_1 \perp AD$. Также, в основании лежит прямоугольник, поэтому $AB \perp AD$. Отсюда следует, что ребро $AD$ перпендикулярно плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Аналогично, ребро $CD$ перпендикулярно плоскости боковой грани $ADD_1A_1$.

Так как прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $ADD_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $A_1D$. Следовательно, угол $\angle A_1DC = 90^\circ$. Это означает, что параллелограмм $A_1B_1CD$ является прямоугольником.

Стороны этого прямоугольника — это $CD$ и $A_1D$. Длина стороны $CD$ равна $b$. Длину стороны $A_1D$ найдём из прямоугольного треугольника $AA_1D$ (угол $\angle A_1AD = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $A_1D^2 = AA_1^2 + AD^2 = a^2 + c^2$. Таким образом, $A_1D = \sqrt{a^2 + c^2}$.

По условию задачи, сечение $A_1B_1CD$ является квадратом с площадью $Q$. Это означает, что, во-первых, его стороны равны, и, во-вторых, его площадь равна $Q$.

Из равенства сторон квадрата следует: $CD = A_1D \implies b = \sqrt{a^2 + c^2}$.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $Q = CD^2 \implies Q = b^2$.

Из второго уравнения находим $b$: $b = \sqrt{Q}$.

Теперь подставим найденное значение $b$ в первое уравнение: $\sqrt{Q} = \sqrt{a^2 + c^2}$.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат: $Q = a^2 + c^2$.

Отсюда выразим вторую сторону основания $c$: $c^2 = Q - a^2 \implies c = \sqrt{Q - a^2}$. (Для существования такого параллелепипеда необходимо, чтобы $Q > a^2$).

Теперь мы можем найти объём параллелепипеда, зная все три его измерения: высоту $a$, и стороны основания $b = \sqrt{Q}$ и $c = \sqrt{Q - a^2}$. $V = a \cdot b \cdot c = a \cdot \sqrt{Q} \cdot \sqrt{Q - a^2}$.

Объединив выражения под корнем, получаем окончательный ответ: $V = a\sqrt{Q(Q - a^2)}$.

Ответ: $a\sqrt{Q(Q - a^2)}$.

1. Каким соотношением связаны объёмы V₁ и V₂ тел Р₁ и Р₂, если:

а) тело P₁ содержится в теле Р₂;

б) каждое из тел Р₁ и Р₂ составлено из n кубов с ребром 1 см?

а) Пусть $V_1$ — это объём тела $P_1$, а $V_2$ — это объём тела $P_2$. По условию задачи, тело $P_1$ содержится в теле $P_2$. Это означает, что любая точка, принадлежащая телу $P_1$, также принадлежит и телу $P_2$. С точки зрения геометрии, пространство, занимаемое телом $P_1$, является подмножеством пространства, занимаемого телом $P_2$.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом. Если одно тело полностью содержится в другом, его объём не может быть больше объёма второго тела. Возможны два случая:
1. Тело $P_1$ является частью тела $P_2$, но не совпадает с ним. В этом случае в теле $P_2$ существуют точки, которые не принадлежат $P_1$, и объём $V_1$ будет строго меньше объёма $V_2$, то есть $V_1 < V_2$.
2. Тело $P_1$ полностью совпадает с телом $P_2$. В этом случае их объёмы равны: $V_1 = V_2$.
Объединяя оба этих случая, мы получаем, что объём $V_1$ должен быть меньше или равен объёму $V_2$. Математически это соотношение записывается в виде неравенства.
Ответ: $V_1 \le V_2$.

б) По условию, каждое из тел $P_1$ и $P_2$ составлено из $n$ кубов, причём ребро каждого куба равно 1 см. Такие тела, состоящие из одинаковых кубиков, называют равносоставленными. Хотя форма тел $P_1$ и $P_2$ может быть разной, их объёмы будут одинаковы, так как они состоят из одинакового числа одинаковых элементов.
Рассчитаем объём одного такого куба. Объём куба с длиной ребра $a$ вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$.
Для нашего случая $a = 1 \text{ см}$, следовательно, объём одного куба равен $V_{куба} = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$.
Объём тела $P_1$ ($V_1$) равен сумме объёмов $n$ составляющих его кубов:
$V_1 = n \cdot V_{куба} = n \cdot 1 \text{ см}^3 = n \text{ см}^3$.
Аналогично, объём тела $P_2$ ($V_2$) также равен сумме объёмов $n$ составляющих его кубов:
$V_2 = n \cdot V_{куба} = n \cdot 1 \text{ см}^3 = n \text{ см}^3$.
Сравнивая выражения для $V_1$ и $V_2$, мы видим, что они равны.
Ответ: $V_1 = V_2$.

2. Какую часть объёма данной прямой треугольной призмы составляет объём треугольной призмы, отсечённой от данной плоскостью, проходящей через средние линии оснований?

Пусть дана прямая треугольная призма. Обозначим её объём как $V$, площадь основания как $S_{осн}$ и высоту как $h$. Объём призмы вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot h$

Плоскость, проходящая через средние линии оснований, отсекает от данной призмы другую, меньшую прямую треугольную призму. Высота отсечённой призмы $h_{отсеч}$ равна высоте исходной призмы $h$, так как плоскости оснований параллельны, а секущая плоскость проходит через соответственные средние линии.

Основанием отсечённой призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника-основания исходной призмы.Рассмотрим, как соотносятся площади этих треугольников.Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный исходному. Коэффициент подобия $k$ равен $1/2$, так как стороны малого треугольника в два раза меньше соответствующих сторон большого треугольника.Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь основания отсечённой призмы $S_{отсеч}$ относится к площади основания исходной призмы $S_{осн}$ как $k^2$:$S_{отсеч} = k^2 \cdot S_{осн} = (\frac{1}{2})^2 \cdot S_{осн} = \frac{1}{4} S_{осн}$

Теперь найдём объём отсечённой призмы $V_{отсеч}$:$V_{отсеч} = S_{отсеч} \cdot h_{отсеч} = (\frac{1}{4} S_{осн}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{осн} \cdot h)$

Поскольку $V = S_{осн} \cdot h$, то $V_{отсеч} = \frac{1}{4} V$.Чтобы найти, какую часть объёма составляет отсечённая призма от данной, нужно найти отношение их объёмов:$\frac{V_{отсеч}}{V} = \frac{\frac{1}{4} V}{V} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

3. Изменится ли объём цилиндра, если диаметр его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?

Для того чтобы определить, изменится ли объём цилиндра, запишем формулу для его вычисления и проанализируем, как на неё повлияют указанные изменения параметров.

Объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота цилиндра.

Основанием цилиндра является круг, площадь которого вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ – это радиус основания.

Таким образом, формула объёма цилиндра через радиус и высоту выглядит так:

$V = \pi r^2 h$

В задаче указан диаметр основания $d$. Радиус связан с диаметром соотношением $r = \frac{d}{2}$. Подставим это выражение в формулу объёма, чтобы выразить его через диаметр:

$V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 h = \pi \frac{d^2}{4} h = \frac{\pi d^2 h}{4}$

Обозначим начальные параметры цилиндра как $d_1$ и $h_1$. Его объём $V_1$ будет равен:

$V_1 = \frac{\pi d_1^2 h_1}{4}$

Теперь рассмотрим, как изменятся параметры согласно условию задачи:

• Диаметр основания увеличивается в 2 раза. Новый диаметр $d_2 = 2 d_1$.
• Высота уменьшается в 4 раза. Новая высота $h_2 = \frac{h_1}{4}$.

Подставим новые значения $d_2$ и $h_2$ в формулу объёма, чтобы найти новый объём $V_2$:

$V_2 = \frac{\pi d_2^2 h_2}{4} = \frac{\pi (2 d_1)^2 \left(\frac{h_1}{4}\right)}{4}$

Теперь упростим это выражение:

$V_2 = \frac{\pi (4 d_1^2) h_1}{4 \cdot 4} = \frac{4 \pi d_1^2 h_1}{16} = \frac{\pi d_1^2 h_1}{4}$

Сравним полученный новый объём $V_2$ с начальным объёмом $V_1$:

$V_1 = \frac{\pi d_1^2 h_1}{4}$

$V_2 = \frac{\pi d_1^2 h_1}{4}$

Как мы видим, $V_1 = V_2$. Это означает, что объём цилиндра не изменился.

Ответ: объём цилиндра не изменится.

4. Как изменится объём правильной пирамиды, если её высоту увеличить в n раз, а сторону основания уменьшить в n раз?

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — её высота.

Пусть первоначальные параметры пирамиды были следующими:

• Высота: $h_1$
• Сторона основания: $a_1$

Поскольку пирамида правильная, в её основании лежит правильный многоугольник. Площадь любого правильного многоугольника пропорциональна квадрату длины его стороны. Это можно выразить формулой $S_{осн} = k \cdot a^2$, где $k$ — это коэффициент, зависящий от формы многоугольника (например, для квадрата $k=1$, для правильного треугольника $k=\frac{\sqrt{3}}{4}$).

Тогда первоначальный объём пирамиды $V_1$ можно записать как:

$V_1 = \frac{1}{3} S_{осн,1} \cdot h_1 = \frac{1}{3} (k \cdot a_1^2) \cdot h_1$

Согласно условию задачи, параметры пирамиды изменились следующим образом:

• Новая высота $h_2$ стала в $n$ раз больше: $h_2 = n \cdot h_1$
• Новая сторона основания $a_2$ стала в $n$ раз меньше: $a_2 = \frac{a_1}{n}$

Теперь найдём новую площадь основания $S_{осн,2}$:

$S_{осн,2} = k \cdot a_2^2 = k \cdot \left(\frac{a_1}{n}\right)^2 = k \frac{a_1^2}{n^2}$

Вычислим новый объём пирамиды $V_2$ с новыми параметрами:

$V_2 = \frac{1}{3} S_{осн,2} \cdot h_2 = \frac{1}{3} \left(k \frac{a_1^2}{n^2}\right) \cdot (n \cdot h_1)$

Перегруппируем множители, чтобы сравнить новый объём с первоначальным:

$V_2 = \left(\frac{1}{3} k a_1^2 h_1\right) \cdot \frac{n}{n^2} = V_1 \cdot \frac{1}{n}$

Из этого соотношения видно, что новый объём $V_2$ равен первоначальному объёму $V_1$, делённому на $n$.

Ответ: Объём правильной пирамиды уменьшится в $n$ раз.

5. Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырёхугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объёмы этих пирамид?

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

По условию задачи, высоты двух пирамид равны. Обозначим эту высоту как $h$. Тогда объемы первой и второй пирамид равны соответственно $V_1 = \frac{1}{3}S_1 \cdot h$ и $V_2 = \frac{1}{3}S_2 \cdot h$, где $S_1$ и $S_2$ — площади их оснований.

Чтобы объемы пирамид были равны ($V_1 = V_2$), необходимо, чтобы площади их оснований также были равны ($S_1 = S_2$), поскольку множители $\frac{1}{3}$ и $h$ у них одинаковые.

Основаниями пирамид являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Однако равенство сторон у двух четырехугольников не гарантирует равенства их площадей. В отличие от треугольника, четырехугольник не является жесткой фигурой. Его углы, а следовательно и площадь, могут меняться при неизменных длинах сторон.

Рассмотрим конкретный пример, чтобы доказать это.

Пусть основанием первой пирамиды является квадрат со стороной $a$. Все его стороны равны $a$. Его площадь составляет:

$S_1 = a^2$

Пусть основанием второй пирамиды является ромб, у которого все стороны также равны $a$, но острый угол равен, например, $60^\circ$. Такой четырехугольник имеет соответственно равные стороны с квадратом. Площадь этого ромба вычисляется по формуле:

$S_2 = a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Очевидно, что $S_1 \neq S_2$, так как $a^2 \neq a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку площади оснований не равны, то и объемы пирамид с этими основаниями и равной высотой $h$ также не будут равны:

$V_1 = \frac{1}{3}a^2 h$

$V_2 = \frac{1}{3}a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} h$

Следовательно, $V_1 \neq V_2$.

Ответ: Нет, объемы этих пирамид не обязательно равны, так как четырехугольники с соответственно равными сторонами могут иметь разную площадь.

6. Как относятся объёмы двух конусов, если их высоты равны, а отношение радиусов оснований равно 2?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления объёма конуса. Объём $V$ конуса с радиусом основания $r$ и высотой $h$ определяется как:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Обозначим параметры первого конуса как $V_1$, $r_1$, $h_1$, а второго — $V_2$, $r_2$, $h_2$.

Из условий задачи нам известно, что высоты конусов равны:
$h_1 = h_2 = h$
А отношение радиусов их оснований равно 2. Предположим, что $r_1$ — это радиус большего основания, а $r_2$ — меньшего:
$\frac{r_1}{r_2} = 2$

Теперь найдём отношение объёмов этих конусов, разделив объём первого на объём второго:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2}$

Поскольку $h_1 = h_2$, мы можем сократить высоты, а также общие множители $\frac{1}{3}$ и $\pi$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

Подставляем известное значение отношения радиусов $\frac{r_1}{r_2} = 2$ в полученную формулу:
$\frac{V_1}{V_2} = 2^2 = 4$
Таким образом, отношение объёмов двух конусов равно 4. Это означает, что объём конуса с большим радиусом в 4 раза больше объёма конуса с меньшим радиусом.
Ответ: 4.

7. Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?

Для того, чтобы определить, из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания, необходимо мысленно разделить эту трапецию на более простые геометрические фигуры.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Осью вращения является прямая, содержащая основание $AD$. Опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры на основание $AD$. Обозначим точки их пересечения с основанием как $H$ и $K$ соответственно. В результате трапеция $ABCD$ будет разделена на три фигуры:
- прямоугольный треугольник $ABH$;
- прямоугольник $HBCK$;
- прямоугольный треугольник $DCK$.
Поскольку исходная трапеция равнобедренная, то треугольники $ABH$ и $DCK$ равны.

Теперь рассмотрим, какие тела образуются при вращении каждой из этих частей вокруг оси $AD$:
1. Вращение прямоугольника $HBCK$ вокруг стороны $HK$, которая лежит на оси вращения, образует цилиндр. Радиус основания этого цилиндра равен высоте трапеции ($r = BH = CK$), а высота самого цилиндра равна длине меньшего основания трапеции ($h_{цил} = HK = BC$).
2. Вращение прямоугольного треугольника $ABH$ вокруг катета $AH$, лежащего на оси вращения, образует конус. Радиус его основания также равен высоте трапеции ($r = BH$), а высота конуса равна длине отрезка $AH$.
3. Вращение прямоугольного треугольника $DCK$ вокруг катета $DK$ образует второй конус. Он будет идентичен первому, так как треугольники $ABH$ и $DCK$ равны.

Таким образом, итоговое тело вращения представляет собой комбинацию этих трех тел: центрального цилиндра и двух одинаковых конусов, которые присоединены к его основаниям.

Ответ: Тело, полученное в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг большего основания, состоит из одного цилиндра и двух равных конусов, присоединенных к основаниям этого цилиндра.

8. Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объёмы этих конусов?

Пусть дан неравнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Согласно условию, треугольник является неравнобедренным, что означает, что длины его катетов не равны: $a \neq b$.

Рассмотрим первый конус, который образуется при вращении этого треугольника вокруг одного из катетов, например, катета $a$. В этом случае высота конуса $H_1$ будет равна $a$, а радиус его основания $R_1$ будет равен другому катету, $b$. Объем этого конуса, обозначим его $V_1$, вычисляется по стандартной формуле объема конуса $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$: $V_1 = \frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1 = \frac{1}{3}\pi b^2 a$.

Теперь рассмотрим второй конус, который образуется при вращении того же треугольника вокруг другого катета, $b$. В этом случае высота конуса $H_2$ будет равна $b$, а радиус основания $R_2$ будет равен катету $a$. Объем второго конуса, $V_2$, будет равен: $V_2 = \frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi a^2 b$.

Чтобы ответить на вопрос, равны ли объемы этих конусов, необходимо сравнить полученные выражения для $V_1$ и $V_2$. Объемы будут равны, если выполняется условие $V_1 = V_2$: $\frac{1}{3}\pi b^2 a = \frac{1}{3}\pi a^2 b$.

Поскольку $a$ и $b$ — это длины катетов, они являются положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на общий множитель $\frac{1}{3}\pi ab$, не равный нулю: $\frac{\frac{1}{3}\pi b^2 a}{\frac{1}{3}\pi ab} = \frac{\frac{1}{3}\pi a^2 b}{\frac{1}{3}\pi ab}$ $b = a$.

Таким образом, объемы двух конусов равны только в том случае, если катеты прямоугольного треугольника равны, то есть если треугольник является равнобедренным. Однако, по условию задачи, нам дан неравнобедренный прямоугольный треугольник, для которого $a \neq b$. Из этого следует, что $V_1 \neq V_2$.

Ответ: Нет, объёмы этих конусов не равны.

9. Диаметр одного шара равен радиусу другого. Чему равно отношение : а) радиусов этих шаров; б) объёмов шаров?

Пусть радиус первого шара равен $r_1$, а его диаметр $d_1$. Радиус второго шара равен $r_2$, а его диаметр $d_2$.

Мы знаем, что диаметр шара в два раза больше его радиуса: $d_1 = 2r_1$.

Согласно условию задачи, диаметр одного шара равен радиусу другого. Допустим, что диаметр первого шара равен радиусу второго: $d_1 = r_2$.

Теперь мы можем связать радиусы двух шаров. Подставим выражение для $d_1$ в наше допущение:

$2r_1 = r_2$

Это означает, что радиус второго шара в два раза больше радиуса первого шара.

а) радиусов этих шаров

Требуется найти отношение радиусов. Найдем отношение радиуса первого шара к радиусу второго шара, то есть $\frac{r_1}{r_2}$.

Исходя из полученного равенства $2r_1 = r_2$, разделим обе части на $r_2$ (так как радиус не может быть равен нулю) и на 2:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, отношение радиусов равно 1 к 2. Если бы мы искали обратное отношение, $\frac{r_2}{r_1}$, оно было бы равно 2. Обычно под отношением понимают отношение меньшей величины к большей.

Ответ: 1:2.

б) объёмов шаров

Формула объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Объём первого шара: $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$.

Объём второго шара: $V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3$.

Чтобы найти отношение объёмов, разделим объём первого шара на объём второго:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3}$

Общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ сокращается, и мы получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$

Из пункта а) мы знаем, что отношение радиусов $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Следовательно, отношение объёмов шаров равно 1 к 8.

Ответ: 1:8.

10. Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объёмов равнялась объёму шара радиуса 6 см?

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для вычисления объёма шара. Формула объёма шара $V$ с радиусом $R$ выглядит так:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Пусть $R_1$ — это радиус маленьких шаров, а $R_2$ — радиус большого шара. По условию, $R_1 = 2$ см, а $R_2 = 6$ см.

Сначала вычислим объём одного маленького шара ($V_1$):

$V_1 = \frac{4}{3}\pi (R_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi \text{ см}^3$

Теперь вычислим объём большого шара ($V_2$):

$V_2 = \frac{4}{3}\pi (R_2)^3 = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 4 \pi \cdot 72 = 288\pi \text{ см}^3$

Чтобы найти, сколько маленьких шаров (обозначим их количество как $N$) нужно взять, чтобы сумма их объёмов равнялась объёму большого шара, нужно разделить объём большого шара на объём одного маленького шара:

$N = \frac{V_2}{V_1} = \frac{288\pi}{\frac{32}{3}\pi}$

Сокращаем $\pi$ и выполняем деление:

$N = \frac{288}{\frac{32}{3}} = 288 \cdot \frac{3}{32}$

Поскольку $288 = 9 \cdot 32$, получаем:

$N = \frac{9 \cdot 32 \cdot 3}{32} = 9 \cdot 3 = 27$

Альтернативный способ решения:

Отношение объёмов двух шаров равно кубу отношения их радиусов. Если $N$ — искомое количество маленьких шаров, то справедливо равенство:

$N \cdot V_1 = V_2$

$N \cdot \frac{4}{3}\pi (R_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (R_2)^3$

Сократив общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ с обеих сторон, получим:

$N \cdot (R_1)^3 = (R_2)^3$

Отсюда находим $N$:

$N = \frac{(R_2)^3}{(R_1)^3} = (\frac{R_2}{R_1})^3$

Подставляем значения радиусов:

$N = (\frac{6}{2})^3 = 3^3 = 27$

Таким образом, потребуется 27 маленьких шаров.

Ответ: 27

11. Во сколько раз объём шара, описанного около куба, больше объёма шара, вписанного в этот же куб?

Для решения этой задачи необходимо найти объемы шара, вписанного в куб, и шара, описанного около того же куба, а затем найти их отношение. Обозначим длину ребра куба как $a$.

1. Объем вписанного шара

Шар, вписанный в куб, касается центра каждой из шести граней куба. Его диаметр равен длине ребра куба. Пусть $r$ — это радиус вписанного шара.

Диаметр вписанного шара $d_{вп} = a$.

Следовательно, его радиус: $r = \frac{a}{2}$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Подставим значение нашего радиуса:

$V_{вп} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{4\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{6}$.

2. Объем описанного шара

Шар, описанный около куба, проходит через все восемь вершин куба. Его диаметр равен главной диагонали куба. Пусть $R$ — это радиус описанного шара.

Главная диагональ куба ($D_{куба}$) находится по формуле, которая выводится из теоремы Пифагора: $D_{куба} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Диаметр описанного шара $D_{оп} = D_{куба} = a\sqrt{3}$.

Следовательно, его радиус: $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим объем описанного шара:

$V_{оп} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3(\sqrt{3})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{8} = \frac{12\pi a^3\sqrt{3}}{24} = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}$.

3. Отношение объемов

Чтобы определить, во сколько раз объем описанного шара больше объема вписанного, найдем их отношение $\frac{V_{оп}}{V_{вп}}$:

$\frac{V_{оп}}{V_{вп}} = \frac{\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi a^3}{6}}$

Для деления дробей умножим числитель на перевернутый знаменатель:

$\frac{V_{оп}}{V_{вп}} = \frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{6}{\pi a^3}$

Сокращаем общие множители $\pi a^3$:

$\frac{V_{оп}}{V_{вп}} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Таким образом, объём шара, описанного около куба, в $3\sqrt{3}$ раз больше объёма шара, вписанного в этот же куб.

Ответ: $3\sqrt{3}$

12. Как изменится площадь сферы, если её радиус:

а) уменьшить в 2 раза;

б) увеличить в 3 раза?

Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ – радиус сферы. Из этой формулы видно, что площадь сферы прямо пропорциональна квадрату ее радиуса. Это означает, что если радиус изменяется в $k$ раз, то площадь изменяется в $k^2$ раз.

а) уменьшить в 2 раза

Пусть исходный радиус сферы равен $R_1$, а ее площадь $S_1 = 4\pi R_1^2$. Если радиус уменьшить в 2 раза, то новый радиус $R_2$ будет равен $R_2 = \frac{R_1}{2}$.

Подставим новое значение радиуса в формулу площади, чтобы найти новую площадь $S_2$:

$S_2 = 4\pi R_2^2 = 4\pi \left(\frac{R_1}{2}\right)^2 = 4\pi \frac{R_1^2}{4} = \pi R_1^2$.

Чтобы определить, во сколько раз изменилась площадь, найдем отношение исходной площади к новой:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{\pi R_1^2} = 4$.

Это означает, что площадь уменьшилась в 4 раза. Ответ: площадь сферы уменьшится в 4 раза.

б) увеличить в 3 раза

Пусть исходный радиус сферы равен $R_1$, а ее площадь $S_1 = 4\pi R_1^2$. Если радиус увеличить в 3 раза, то новый радиус $R_3$ будет равен $R_3 = 3R_1$.

Подставим новое значение радиуса в формулу площади, чтобы найти новую площадь $S_3$:

$S_3 = 4\pi R_3^2 = 4\pi (3R_1)^2 = 4\pi (9R_1^2) = 36\pi R_1^2$.

Чтобы определить, во сколько раз изменилась площадь, найдем отношение новой площади к исходной:

$\frac{S_3}{S_1} = \frac{36\pi R_1^2}{4\pi R_1^2} = 9$.

Это означает, что площадь увеличилась в 9 раз. Ответ: площадь сферы увеличится в 9 раз.

13. Отношение объёмов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?

Пусть радиусы двух шаров равны $R_1$ и $R_2$, их объемы — $V_1$ и $V_2$, а площади поверхностей — $S_1$ и $S_2$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

Согласно условию, отношение объемов шаров равно 8: $$ \frac{V_1}{V_2} = 8 $$

Запишем это отношение, используя формулу для объема: $$ \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = 8 $$

Сократив общие множители $\frac{4}{3}\pi$, получим отношение кубов радиусов: $$ \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = 8 $$

Чтобы найти отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2}$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: $$ \frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{8} = 2 $$ Это означает, что радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго.

Теперь найдем отношение площадей поверхностей этих шаров: $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} $$

Сократив общие множители $4\pi$, получим отношение квадратов радиусов: $$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 $$

Мы уже выяснили, что $\frac{R_1}{R_2} = 2$. Подставим это значение в выражение для отношения площадей: $$ \frac{S_1}{S_2} = 2^2 = 4 $$

Ответ: 4

14. В каком отношении находятся объёмы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как m² : n²?

Пусть радиусы двух шаров равны $R_1$ и $R_2$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4 \pi R^2$, а объём — по формуле $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Согласно условию, отношение площадей поверхностей двух шаров равно $m^2 : n^2$. Запишем это математически, подставив формулы для площадей $S_1$ и $S_2$: $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi R_1^2}{4 \pi R_2^2} = \frac{m^2}{n^2} $$

После сокращения общего множителя $4 \pi$ получаем отношение квадратов радиусов: $$ \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2} $$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим отношение радиусов (учитывая, что радиус — положительная величина): $$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{m}{n} $$

Теперь найдем искомое отношение объёмов шаров, $V_1$ и $V_2$: $$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_1^3}{\frac{4}{3} \pi R_2^3} $$

После сокращения общего множителя $\frac{4}{3} \pi$ получаем отношение кубов радиусов: $$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 $$

Подставим в это выражение найденное ранее отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2} = \frac{m}{n}$: $$ \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{m}{n}\right)^3 = \frac{m^3}{n^3} $$

Таким образом, объёмы двух шаров находятся в отношении $m^3 : n^3$.

Ответ: $m^3 : n^3$