Страница 144 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

557. В тетраэдре ABCD точки М, N и K — середины рёбер АС, ВС и CD соответственно, AB = 3 см, ВС = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов:

Длина (или модуль) вектора — это длина отрезка, который он представляет. Длина вектора $\vec{XY}$ обозначается как $|\vec{XY}|$ и равна длине отрезка $XY$.

Найдём длины векторов $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{BD}$, $\vec{NM}$, $\vec{BN}$, $\vec{NK}$.

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине ребра $AB$. По условию задачи $AB = 3$ см. Следовательно, $|\vec{AB}| = 3$ см.

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине ребра $BC$. По условию задачи $BC = 4$ см. Следовательно, $|\vec{BC}| = 4$ см.

Длина вектора $\vec{BD}$ равна длине ребра $BD$. По условию задачи $BD = 5$ см. Следовательно, $|\vec{BD}| = 5$ см.

Для нахождения длины вектора $\vec{NM}$ рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $N$ и $M$ являются серединами сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Это означает, что отрезок $NM$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии, её длина равна половине длины параллельного ей основания $AB$. $|\vec{NM}| = NM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$ см.

Точка $N$ — середина ребра $BC$. Следовательно, длина вектора $\vec{BN}$ равна половине длины ребра $BC$. $|\vec{BN}| = BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Для нахождения длины вектора $\vec{NK}$ рассмотрим треугольник $BCD$. Точки $N$ и $K$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Это означает, что отрезок $NK$ — средняя линия треугольника $BCD$. По свойству средней линии, её длина равна половине длины параллельного ей основания $BD$. $|\vec{NK}| = NK = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$ см.

Ответ: $|\vec{AB}|=3$ см, $|\vec{BC}|=4$ см, $|\vec{BD}|=5$ см, $|\vec{NM}|=1,5$ см, $|\vec{BN}|=2$ см, $|\vec{NK}|=2,5$ см.

Найдём длины векторов $\vec{CB}$, $\vec{BA}$, $\vec{DB}$, $\vec{NC}$, $\vec{KN}$.

Длина вектора не зависит от его направления. Длина вектора $\vec{XY}$ равна длине вектора $\vec{YX}$, так как $|\vec{XY}| = XY$ и $|\vec{YX}| = YX$, а длина отрезка $XY$ равна длине отрезка $YX$.

Длина вектора $\vec{CB}$ равна длине вектора $\vec{BC}$. $|\vec{CB}| = CB = BC = 4$ см.

Длина вектора $\vec{BA}$ равна длине вектора $\vec{AB}$. $|\vec{BA}| = BA = AB = 3$ см.

Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине вектора $\vec{BD}$. $|\vec{DB}| = DB = BD = 5$ см.

Точка $N$ — середина ребра $BC$. Следовательно, она делит ребро на два равных отрезка: $BN = NC$. Длина вектора $\vec{NC}$ равна: $|\vec{NC}| = NC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Длина вектора $\vec{KN}$ равна длине вектора $\vec{NK}$, которую мы нашли в пункте а). $|\vec{KN}| = KN = NK = 2,5$ см.

Ответ: $|\vec{CB}|=4$ см, $|\vec{BA}|=3$ см, $|\vec{DB}|=5$ см, $|\vec{NC}|=2$ см, $|\vec{KN}|=2,5$ см.

558. Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ имеют следующие значения: AD = 8 см, AB = 9 см и АА₁ = 12 см. Найдите длины векторов:

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с измерениями: $AD = 8$ см, $AB = 9$ см и $AA_1 = 12$ см. Длина вектора равна длине соответствующего ему отрезка. В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны, а все грани являются прямоугольниками.

а) $\vec{CC_1}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$

Длина вектора $\vec{CC_1}$ равна длине бокового ребра $CC_1$. Так как все боковые ребра параллелепипеда равны, то $|\vec{CC_1}| = CC_1 = AA_1 = 12$ см.

Длина вектора $\vec{CB}$ равна длине ребра основания $CB$. Так как противоположные ребра основания равны, то $|\vec{CB}| = CB = AD = 8$ см.

Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине ребра основания $CD$. Так как противоположные ребра основания равны, то $|\vec{CD}| = CD = AB = 9$ см.

Ответ: $|\vec{CC_1}| = 12$ см, $|\vec{CB}| = 8$ см, $|\vec{CD}| = 9$ см.

б) $\vec{DC_1}$, $\vec{DB}$, $\vec{DB_1}$

Вектор $\vec{DC_1}$ является диагональю боковой грани $DCC_1D_1$. Эта грань — прямоугольник со сторонами $DC = AB = 9$ см и $DD_1 = AA_1 = 12$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$ (с прямым углом при $C$):
$|\vec{DC_1}| = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Вектор $\vec{DB}$ является диагональю основания $ABCD$. Это основание — прямоугольник со сторонами $AD = 8$ см и $AB = 9$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DAB$ (с прямым углом при $A$):
$|\vec{DB}| = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{8^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145}$ см.

Вектор $\vec{DB_1}$ является главной диагональю параллелепипеда. Её длина равна квадратному корню из суммы квадратов трёх измерений параллелепипеда (длины, ширины и высоты):
$|\vec{DB_1}| = \sqrt{AD^2 + AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{8^2 + 9^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 81 + 144} = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: $|\vec{DC_1}| = 15$ см, $|\vec{DB}| = \sqrt{145}$ см, $|\vec{DB_1}| = 17$ см.

559. На рисунке 157 изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки М и K — середины рёбер B₁C₁ и A₁D₁. Укажите на этом рисунке все пары:

а) сонаправленных векторов;

б) противоположно направленных векторов;

в) равных векторов.

а) сонаправленных векторов;

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы (лежащие на одной прямой или на параллельных прямых), которые направлены в одну и ту же сторону. В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным рёбрам, коллинеарны.

На данном рисунке можно выделить две группы сонаправленных векторов:

1. Векторы, параллельные боковому ребру $AA_1$. Это векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$. Все они направлены вверх, следовательно, они сонаправлены друг другу.

2. Векторы, параллельные ребру $AD$. Это векторы $\vec{AD}$, $\vec{BC}$. Также к этой группе относятся векторы $\vec{A_1K}$, $\vec{KD_1}$, $\vec{B_1M}$ и $\vec{MC_1}$, так как рёбра $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны ребру $AD$. Все эти векторы имеют одинаковое направление в пространстве. Следовательно, любые два вектора из этого набора сонаправлены.

Ответ: Парами сонаправленных векторов являются:

• Любая пара векторов из множества $\{\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}, \vec{DD_1}\}$. Например: $(\vec{AA_1}, \vec{BB_1})$, $(\vec{BB_1}, \vec{DD_1})$ и т.д. Всего 6 пар.
• Любая пара векторов из множества $\{\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}\}$. Например: $(\vec{AD}, \vec{BC})$, $(\vec{A_1K}, \vec{B_1M})$, $(\vec{AD}, \vec{MC_1})$ и т.д. Всего 15 пар.

б) противоположно направленных векторов;

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, которые направлены в противоположные стороны.

На рисунке все векторы, лежащие на параллельных прямых, направлены в одну сторону:

• Векторы $\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}, \vec{DD_1}$ направлены вверх.
• Векторы $\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}$ направлены в одну и ту же сторону (условно "вперёд-вправо").

На рисунке нет векторов, направленных в противоположные стороны (например, $\vec{A_1A}$ или $\vec{DA}$), поэтому пар противоположно направленных векторов нет.

Ответ: На данном рисунке нет пар противоположно направленных векторов.

в) равных векторов.

Равные векторы — это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину (модуль).

Рассмотрим группы сонаправленных векторов, найденные в пункте а):

1. Группа $\{\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}, \vec{DD_1}\}$. В параллелепипеде длины параллельных рёбер равны: $|\vec{AA_1}| = |\vec{BB_1}| = |\vec{CC_1}| = |\vec{DD_1}|$. Так как эти векторы сонаправлены, они все равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$.

2. Группа $\{\vec{AD}, \vec{BC}, \vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}\}$. Сравним их длины.

• В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $|\vec{AD}| = |\vec{BC}|$. Так как векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, то $\vec{AD} = \vec{BC}$.
• Так как $K$ — середина ребра $A_1D_1$, то $|\vec{A_1K}| = |\vec{KD_1}| = \frac{1}{2} |A_1D_1|$.
• Так как $M$ — середина ребра $B_1C_1$, то $|\vec{B_1M}| = |\vec{MC_1}| = \frac{1}{2} |B_1C_1|$.
• В параллелепипеде $|A_1D_1| = |B_1C_1|$, следовательно, $|\vec{A_1K}| = |\vec{KD_1}| = |\vec{B_1M}| = |\vec{MC_1}|$. Поскольку эти четыре вектора сонаправлены, они равны между собой: $\vec{A_1K} = \vec{KD_1} = \vec{B_1M} = \vec{MC_1}$.
• Длина векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равна $|A_1D_1|$, а длина векторов $\vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}$ равна $\frac{1}{2}|A_1D_1|$. Поэтому вектор $\vec{AD}$ (или $\vec{BC}$) не равен ни одному из векторов $\vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}$.

Ответ: Парами равных векторов являются:

• Любая пара векторов из множества $\{\vec{AA_1}, \vec{BB_1}, \vec{CC_1}, \vec{DD_1}\}$. Всего 6 пар: $(\vec{AA_1}, \vec{BB_1})$, $(\vec{AA_1}, \vec{CC_1})$, $(\vec{AA_1}, \vec{DD_1})$, $(\vec{BB_1}, \vec{CC_1})$, $(\vec{BB_1}, \vec{DD_1})$, $(\vec{CC_1}, \vec{DD_1})$.
• Пара $(\vec{AD}, \vec{BC})$.
• Любая пара векторов из множества $\{\vec{A_1K}, \vec{KD_1}, \vec{B_1M}, \vec{MC_1}\}$. Всего 6 пар: $(\vec{A_1K}, \vec{KD_1})$, $(\vec{A_1K}, \vec{B_1M})$, $(\vec{A_1K}, \vec{MC_1})$, $(\vec{KD_1}, \vec{B_1M})$, $(\vec{KD_1}, \vec{MC_1})$, $(\vec{B_1M}, \vec{MC_1})$.

560. На рисунке 158 изображён тетраэдр ABCD, рёбра которого равны. Точки М, N, Р и Q — середины сторон AB, AD, DC, ВС.

а) Выпишите все пары равных векторов, изображённых на этом рисунке.

б) Определите вид четырёхугольника MNPQ.

а) По условию, точки $M, N, P, Q$ являются серединами рёбер $AB, AD, DC, BC$ тетраэдра $ABCD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$, следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, вектор $\vec{MN}$ сонаправлен вектору $\vec{BD}$ и его длина равна половине длины вектора $\vec{BD}$. Таким образом, можно записать векторное равенство $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $QP$ соединяет середины сторон $BC$ и $DC$. Следовательно, $QP$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, вектор $\vec{QP}$ также сонаправлен вектору $\vec{BD}$ и его длина равна половине длины вектора $\vec{BD}$. Таким образом, $\vec{QP} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.

Из полученных равенств следует, что $\vec{MN} = \vec{QP}$. Это первая пара равных векторов. Векторы, противоположные равным векторам, также равны, поэтому $\vec{NM} = \vec{PQ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $MQ$ является средней линией. Отсюда $\vec{MQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $NP$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $AD$ и $DC$. Отсюда $\vec{NP} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Из последних двух равенств следует, что $\vec{MQ} = \vec{NP}$. Это третья пара равных векторов. Соответственно, равны и противоположные им векторы: $\vec{QM} = \vec{PN}$.

Ответ: Пары равных векторов: ($\vec{MN}$, $\vec{QP}$); ($\vec{NM}$, $\vec{PQ}$); ($\vec{MQ}$, $\vec{NP}$); ($\vec{QM}$, $\vec{PN}$).

б) Чтобы определить вид четырёхугольника $MNPQ$, воспользуемся результатами из пункта а).

Мы установили, что $\vec{MN} = \vec{QP}$. Равенство векторов означает, что они коллинеарны (их несущие прямые параллельны) и их длины равны. Таким образом, стороны $MN$ и $QP$ четырёхугольника $MNPQ$ параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $MNPQ$ — параллелограмм.

По условию, все рёбра тетраэдра $ABCD$ равны. Пусть длина каждого ребра равна $a$. Это означает, что $ABCD$ — правильный тетраэдр, и, в частности, длины скрещивающихся рёбер $AC$ и $BD$ равны: $|AC| = |BD| = a$.

Найдём длины смежных сторон параллелограмма $MNPQ$:

$|MN| = |\vec{MN}| = |\frac{1}{2}\vec{BD}| = \frac{1}{2}|BD| = \frac{a}{2}$

$|NP| = |\vec{NP}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|AC| = \frac{a}{2}$

Поскольку смежные стороны параллелограмма равны ($|MN| = |NP|$), $MNPQ$ является ромбом.

Теперь определим угол между смежными сторонами $MN$ и $NP$. Этот угол равен углу между векторами $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$, а значит, и углу между прямыми, содержащими скрещивающиеся рёбра $BD$ и $AC$ (так как $MN || BD$ и $NP || AC$).

Докажем, что в правильном тетраэдре скрещивающиеся рёбра перпендикулярны. Выберем в качестве базисных векторы, выходящие из вершины D: $\vec{DA}$, $\vec{DB}$, $\vec{DC}$. Так как тетраэдр правильный, длины этих векторов равны $a$, а углы между любыми двумя из них равны $60^\circ$. Скалярное произведение этих векторов: $\vec{DA} \cdot \vec{DB} = \vec{DB} \cdot \vec{DC} = \vec{DC} \cdot \vec{DA} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$.

Выразим векторы скрещивающихся рёбер $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ через базисные векторы: $\vec{AC} = \vec{DC} - \vec{DA}$ $\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B}$ (если начало в D), т.е. $\vec{BD} = -\vec{DB}$.

Найдём их скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{DC} - \vec{DA}) \cdot (-\vec{DB}) = -(\vec{DC} \cdot \vec{DB}) + (\vec{DA} \cdot \vec{DB}) = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны. Следовательно, прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны. А значит, и стороны ромба $NP$ и $MN$ перпендикулярны. Таким образом, угол $\angle MNP = 90^\circ$.

Поскольку $MNPQ$ — ромб, у которого один из углов прямой, он является квадратом.

Ответ: Четырёхугольник $MNPQ$ — квадрат.

561. Справедливо ли утверждение:

а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой;

б) два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены;

в) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены?

а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой;

Данное утверждение справедливо. Свойство векторов быть коллинеарными является транзитивным.

Приведем доказательство. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны ненулевому вектору $\vec{c}$. По определению коллинеарности векторов, это означает, что существуют такие действительные числа $k_1$ и $k_2$, для которых выполняются равенства: $\vec{a} = k_1 \vec{c}$ и $\vec{b} = k_2 \vec{c}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если один из векторов, например $\vec{a}$, является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$), то $k_1 = 0$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору, в том числе и вектору $\vec{b}$. Следовательно, в этом случае утверждение верно.

2. Если оба вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$, ненулевые, то коэффициенты $k_1 \ne 0$ и $k_2 \ne 0$. Поскольку по условию вектор $\vec{c}$ ненулевой, мы можем выразить его из первого равенства: $\vec{c} = \frac{1}{k_1} \vec{a}$. Теперь подставим это выражение во второе равенство: $\vec{b} = k_2 \left(\frac{1}{k_1} \vec{a}\right) = \frac{k_2}{k_1} \vec{a}$.

Обозначив $k = \frac{k_2}{k_1}$, мы получим равенство вида $\vec{b} = k \vec{a}$. Это и есть математическое определение коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Да, утверждение справедливо.

б) два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены;

Данное утверждение справедливо. Свойство сонаправленности векторов также является транзитивным.

Докажем это. Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены с ненулевым вектором $\vec{c}$. Обозначим это как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{c}$ и $\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{c}$.

По определению сонаправленных векторов, существуют такие положительные числа $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$, что $\vec{a} = k_1 \vec{c}$ и $\vec{b} = k_2 \vec{c}$. (Важно отметить, что если вектор сонаправлен с ненулевым вектором, он сам не может быть нулевым).

Аналогично предыдущему пункту, выразим вектор $\vec{c}$ из первого равенства $\vec{c} = \frac{1}{k_1} \vec{a}$ и подставим во второе: $\vec{b} = k_2 \left(\frac{1}{k_1} \vec{a}\right) = \frac{k_2}{k_1} \vec{a}$.

Обозначим $k = \frac{k_2}{k_1}$. Так как по условию оба числа $k_1$ и $k_2$ положительны, их отношение $k$ также будет положительным ($k > 0$). Таким образом, мы получили равенство $\vec{b} = k \vec{a}$, где $k > 0$, что является определением сонаправленности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Ответ: Да, утверждение справедливо.

в) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены?

Нет, данное утверждение несправедливо. Коллинеарность означает лишь, что векторы параллельны, но они могут быть направлены как в одну сторону (сонаправлены), так и в противоположные.

Приведем контрпример. Пусть дан некоторый ненулевой вектор $\vec{c}$. Рассмотрим вектор $\vec{a} = 2\vec{c}$. Вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$ и сонаправлен с ним, так как коэффициент $2 > 0$. Теперь рассмотрим вектор $\vec{b} = -3\vec{c}$. Вектор $\vec{b}$ также коллинеарен вектору $\vec{c}$, но направлен в противоположную сторону, так как коэффициент $-3 < 0$.

Оба вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$, коллинеарны вектору $\vec{c}$. Теперь проверим их взаимное направление. Из соотношения $\vec{a} = 2\vec{c}$ выразим $\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{a}$. Подставим это выражение в соотношение для $\vec{b}$: $\vec{b} = -3\vec{c} = -3\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right) = -\frac{3}{2}\vec{a}$.

Мы получили, что вектор $\vec{b}$ выражается через вектор $\vec{a}$ с помощью отрицательного коэффициента $k = -\frac{3}{2}$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$), а не сонаправлены.

Ответ: Нет, не обязательно. Они могут быть как сонаправлены, так и противоположно направлены.

562. Известно, что AA₁ = BB₁ Как расположены по отношению друг к другу:

а) прямые AB и A₁B₁;

б) прямая AB и плоскость, проходящая через точки A₁ и В₁;

в) плоскости, одна из которых проходит через точки А и В, а другая проходит через точки А₁ и В₁?

По условию дано векторное равенство $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}$. Это равенство означает, что векторы $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{BB_1}$ коллинеарны (параллельны или лежат на одной прямой), сонаправлены и равны по длине. Рассмотрим это равенство в координатной форме. Пусть точки имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$, $A_1(x_{A1}, y_{A1}, z_{A1})$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $B_1(x_{B1}, y_{B1}, z_{B1})$. Тогда равенство векторов $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}$ означает:

$x_{A1} - x_A = x_{B1} - x_B$
$y_{A1} - y_A = y_{B1} - y_B$
$z_{A1} - z_A = z_{B1} - z_B$

Перегруппировав слагаемые, получим:

$x_B - x_A = x_{B1} - x_{A1}$
$y_B - y_A = y_{B1} - y_{A1}$
$z_B - z_A = z_{B1} - z_{A1}$

Это координатная запись векторного равенства $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$. Таким образом, из условия $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}$ следует, что $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$. Это означает, что четырехугольник $ABB_1A_1$ является параллелограммом (возможно, вырожденным, если все четыре точки лежат на одной прямой). На основе этого вывода ответим на поставленные вопросы.

а) прямые $AB$ и $A_1B_1$;

Из равенства векторов $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$ следует, что эти векторы коллинеарны и имеют одинаковую длину. Коллинеарность векторов означает, что прямые, на которых они лежат, либо параллельны, либо совпадают.

• Если точки $A, B, A_1$ не лежат на одной прямой, то $ABB_1A_1$ — это параллелограмм, и его противоположные стороны $AB$ и $A_1B_1$ лежат на параллельных прямых.
• Если точки $A, B, A_1$ лежат на одной прямой, то из равенства $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}$ следует, что и точка $B_1$ лежит на той же прямой. В этом случае прямые $AB$ и $A_1B_1$ совпадают.

Ответ: Прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны или совпадают.

б) прямая $AB$ и плоскость, проходящая через точки $A_1$ и $B_1$;

Пусть $\alpha$ — любая плоскость, проходящая через точки $A_1$ и $B_1$. Это означает, что прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$. Как мы установили, прямая $AB$ либо параллельна прямой $A_1B_1$, либо совпадает с ней.

• Если прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$ ($AB \parallel A_1B_1$), то, согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AB$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней. Она будет лежать в плоскости $\alpha$, если сама плоскость $\alpha$ является плоскостью, содержащей обе параллельные прямые $AB$ и $A_1B_1$.
• Если прямая $AB$ совпадает с прямой $A_1B_1$, то, поскольку $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $AB$ также лежит в плоскости $\alpha$.

В обоих случаях прямая $AB$ не может пересекать плоскость $\alpha$ в одной точке. Она либо параллельна ей, либо целиком принадлежит ей.

Ответ: Прямая $AB$ параллельна плоскости, проходящей через точки $A_1$ и $B_1$, или лежит в этой плоскости.

в) плоскости, одна из которых проходит через точки $A$ и $B$, а другая проходит через точки $A_1$ и $B_1$?

Пусть плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$ и $B$ (т.е. содержит прямую $AB$), а плоскость $\beta$ проходит через точки $A_1$ и $B_1$ (т.е. содержит прямую $A_1B_1$). Мы знаем, что прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны или совпадают.

• Если прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны ($AB \parallel A_1B_1$), то две плоскости $\alpha$ и $\beta$, содержащие эти прямые, могут быть параллельны друг другу. Также они могут пересекаться. В случае пересечения их линия пересечения будет параллельна прямым $AB$ и $A_1B_1$. Частным случаем пересечения является совпадение плоскостей.
• Если прямые $AB$ и $A_1B_1$ совпадают, то обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через одну и ту же прямую. Две плоскости, проходящие через одну прямую, либо совпадают, либо пересекаются по этой прямой. Они не могут быть параллельными и различными.

Объединяя оба случая, можно сделать вывод, что плоскости могут быть параллельны или пересекаться.

Ответ: Плоскости могут быть параллельны или могут пересекаться.

563. На рисунке 157 изображён параллелепипед, точки М и K — середины рёбер B₁C₁ и A₁D₁. Назовите вектор, который получится, если отложить:

а) В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все боковые рёбра параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим рёбрам, равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Чтобы отложить от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{DD_1}$, нужно найти точку $P$ такую, что $\vec{CP} = \vec{DD_1}$. Так как $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$, то искомый вектор начинается в точке $C$ и заканчивается в точке $C_1$. Таким образом, это вектор $\vec{CC_1}$.
Ответ: $\vec{CC_1}$

б) Нам нужно отложить от точки $D$ вектор, равный $\vec{CM}$. Это значит, что мы ищем вектор, начинающийся в точке $D$, который равен вектору $\vec{CM}$. Для этого найдём конечную точку искомого вектора. Выразим вектор $\vec{CM}$ через рёбра параллелепипеда, используя правило сложения векторов: $\vec{CM} = \vec{CC_1} + \vec{C_1M}$. По условию, точка $M$ является серединой ребра $B_1C_1$, следовательно, $\vec{C_1M} = \frac{1}{2}\vec{C_1B_1}$. В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным рёбрам, равны, поэтому $\vec{C_1B_1} = \vec{DA}$. Значит, $\vec{C_1M} = \frac{1}{2}\vec{DA}$. Также в параллелепипеде $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Подставив полученные равенства, получим: $\vec{CM} = \vec{DD_1} + \frac{1}{2}\vec{DA}$. Вектор, отложенный от точки $D$, должен быть равен этому выражению. Пусть его конечная точка - $P$. Тогда $\vec{DP} = \vec{DD_1} + \frac{1}{2}\vec{DA}$. Рассмотрим вектор $\vec{DK}$. По правилу треугольника $\vec{DK} = \vec{DD_1} + \vec{D_1K}$. Точка $K$ - середина ребра $A_1D_1$, значит $\vec{D_1K} = \frac{1}{2}\vec{D_1A_1}$. Так как $\vec{D_1A_1} = \vec{DA}$, то $\vec{D_1K} = \frac{1}{2}\vec{DA}$. Следовательно, $\vec{DK} = \vec{DD_1} + \frac{1}{2}\vec{DA}$. Сравнивая выражения для $\vec{DP}$ и $\vec{DK}$, видим, что они равны. Значит, точка $P$ совпадает с точкой $K$, и искомый вектор - это $\vec{DK}$.
Ответ: $\vec{DK}$

в) Грани $ABCD$ (нижнее основание) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхнее основание) параллелепипеда являются параллельными и равными параллелограммами. Это означает, что их соответствующие диагонали также параллельны и равны, то есть векторы, лежащие на этих диагоналях, равны: $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$. Чтобы отложить от точки $A_1$ вектор, равный $\vec{AC}$, мы ищем вектор $\vec{A_1P}$ такой, что $\vec{A_1P} = \vec{AC}$. Так как $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$, то искомый вектор - это $\vec{A_1C_1}$.
Ответ: $\vec{A_1C_1}$

г) В параллелепипеде рёбра $CB$ и $C_1B_1$ параллельны и равны. Векторы $\vec{CB}$ и $\vec{C_1B_1}$ сонаправлены и равны по модулю, следовательно, $\vec{CB} = \vec{C_1B_1}$. Чтобы отложить от точки $C_1$ вектор, равный $\vec{CB}$, мы ищем вектор $\vec{C_1P}$ такой, что $\vec{C_1P} = \vec{CB}$. Так как $\vec{CB} = \vec{C_1B_1}$, то искомый вектор - это $\vec{C_1B_1}$.
Ответ: $\vec{C_1B_1}$

д) Нам нужно отложить от точки $M$ вектор, равный $\vec{KA_1}$. Это означает, что мы ищем вектор $\vec{MP}$ такой, что $\vec{MP} = \vec{KA_1}$. Точка $K$ является серединой ребра $A_1D_1$. Вектор $\vec{KA_1}$ направлен от середины отрезка $A_1D_1$ к его концу $A_1$. Следовательно, $\vec{KA_1} = \frac{1}{2}\vec{D_1A_1}$. В параллелепипеде рёбра $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны и равны, и векторы $\vec{D_1A_1}$ и $\vec{C_1B_1}$ равны. Таким образом, $\vec{KA_1} = \frac{1}{2}\vec{C_1B_1}$. Теперь рассмотрим точку $M$, которая является серединой ребра $B_1C_1$. Вектор $\vec{MB_1}$ направлен от середины отрезка $B_1C_1$ к его концу $B_1$. Следовательно, $\vec{MB_1} = \frac{1}{2}\vec{C_1B_1}$. Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $\vec{KA_1} = \vec{MB_1}$. Значит, вектор, отложенный от точки $M$ и равный вектору $\vec{KA_1}$, является вектором $\vec{MB_1}$.
Ответ: $\vec{MB_1}$