Номер 557, страница 144 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

557. В тетраэдре ABCD точки М, N и K — середины рёбер АС, ВС и CD соответственно, AB = 3 см, ВС = 4 см, BD = 5 см. Найдите длины векторов:

Длина (или модуль) вектора — это длина отрезка, который он представляет. Длина вектора $\vec{XY}$ обозначается как $|\vec{XY}|$ и равна длине отрезка $XY$.

Найдём длины векторов $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{BD}$, $\vec{NM}$, $\vec{BN}$, $\vec{NK}$.

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине ребра $AB$. По условию задачи $AB = 3$ см. Следовательно, $|\vec{AB}| = 3$ см.

Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине ребра $BC$. По условию задачи $BC = 4$ см. Следовательно, $|\vec{BC}| = 4$ см.

Длина вектора $\vec{BD}$ равна длине ребра $BD$. По условию задачи $BD = 5$ см. Следовательно, $|\vec{BD}| = 5$ см.

Для нахождения длины вектора $\vec{NM}$ рассмотрим треугольник $ABC$. Точки $N$ и $M$ являются серединами сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Это означает, что отрезок $NM$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии, её длина равна половине длины параллельного ей основания $AB$. $|\vec{NM}| = NM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$ см.

Точка $N$ — середина ребра $BC$. Следовательно, длина вектора $\vec{BN}$ равна половине длины ребра $BC$. $|\vec{BN}| = BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Для нахождения длины вектора $\vec{NK}$ рассмотрим треугольник $BCD$. Точки $N$ и $K$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Это означает, что отрезок $NK$ — средняя линия треугольника $BCD$. По свойству средней линии, её длина равна половине длины параллельного ей основания $BD$. $|\vec{NK}| = NK = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$ см.

Ответ: $|\vec{AB}|=3$ см, $|\vec{BC}|=4$ см, $|\vec{BD}|=5$ см, $|\vec{NM}|=1,5$ см, $|\vec{BN}|=2$ см, $|\vec{NK}|=2,5$ см.

Найдём длины векторов $\vec{CB}$, $\vec{BA}$, $\vec{DB}$, $\vec{NC}$, $\vec{KN}$.

Длина вектора не зависит от его направления. Длина вектора $\vec{XY}$ равна длине вектора $\vec{YX}$, так как $|\vec{XY}| = XY$ и $|\vec{YX}| = YX$, а длина отрезка $XY$ равна длине отрезка $YX$.

Длина вектора $\vec{CB}$ равна длине вектора $\vec{BC}$. $|\vec{CB}| = CB = BC = 4$ см.

Длина вектора $\vec{BA}$ равна длине вектора $\vec{AB}$. $|\vec{BA}| = BA = AB = 3$ см.

Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине вектора $\vec{BD}$. $|\vec{DB}| = DB = BD = 5$ см.

Точка $N$ — середина ребра $BC$. Следовательно, она делит ребро на два равных отрезка: $BN = NC$. Длина вектора $\vec{NC}$ равна: $|\vec{NC}| = NC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Длина вектора $\vec{KN}$ равна длине вектора $\vec{NK}$, которую мы нашли в пункте а). $|\vec{KN}| = KN = NK = 2,5$ см.

Ответ: $|\vec{CB}|=4$ см, $|\vec{BA}|=3$ см, $|\vec{DB}|=5$ см, $|\vec{NC}|=2$ см, $|\vec{KN}|=2,5$ см.