Номер 558, страница 144 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Векторы в пространстве. Параграф 1. Понятие вектора в пространстве - номер 558, страница 144.

Условие.

558. Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ имеют следующие значения: AD = 8 см, AB = 9 см и АА₁ = 12 см. Найдите длины векторов:

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с измерениями: $AD = 8$ см, $AB = 9$ см и $AA_1 = 12$ см. Длина вектора равна длине соответствующего ему отрезка. В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны, а все грани являются прямоугольниками.

а) $\vec{CC_1}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$

Длина вектора $\vec{CC_1}$ равна длине бокового ребра $CC_1$. Так как все боковые ребра параллелепипеда равны, то $|\vec{CC_1}| = CC_1 = AA_1 = 12$ см.

Длина вектора $\vec{CB}$ равна длине ребра основания $CB$. Так как противоположные ребра основания равны, то $|\vec{CB}| = CB = AD = 8$ см.

Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине ребра основания $CD$. Так как противоположные ребра основания равны, то $|\vec{CD}| = CD = AB = 9$ см.

Ответ: $|\vec{CC_1}| = 12$ см, $|\vec{CB}| = 8$ см, $|\vec{CD}| = 9$ см.

б) $\vec{DC_1}$, $\vec{DB}$, $\vec{DB_1}$

Вектор $\vec{DC_1}$ является диагональю боковой грани $DCC_1D_1$. Эта грань — прямоугольник со сторонами $DC = AB = 9$ см и $DD_1 = AA_1 = 12$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$ (с прямым углом при $C$):
$|\vec{DC_1}| = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Вектор $\vec{DB}$ является диагональю основания $ABCD$. Это основание — прямоугольник со сторонами $AD = 8$ см и $AB = 9$ см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DAB$ (с прямым углом при $A$):
$|\vec{DB}| = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{8^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145}$ см.

Вектор $\vec{DB_1}$ является главной диагональю параллелепипеда. Её длина равна квадратному корню из суммы квадратов трёх измерений параллелепипеда (длины, ширины и высоты):
$|\vec{DB_1}| = \sqrt{AD^2 + AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{8^2 + 9^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 81 + 144} = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: $|\vec{DC_1}| = 15$ см, $|\vec{DB}| = \sqrt{145}$ см, $|\vec{DB_1}| = 17$ см.