Номер 554, страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

554. Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м³?

Общая вместимость цистерны, равная 50 м?, складывается из объема ее центральной цилиндрической части и объемов двух одинаковых шаровых сегментов, присоединенных к ее основаниям. Обозначим искомая длину образующей (высоту) цилиндра как $L$.

1. Вычисление объема двух шаровых сегментов

Объем одного шарового сегмента ($V_{сегм}$) вычисляется по формуле:

$V_{сегм} = \frac{1}{6} \pi h (3a^2 + h^2)$

где $h$ – высота сегмента, а $a$ – радиус основания сегмента. По условию, радиус основания сегмента равен радиусу цилиндра, то есть $a = 1,5$ м, а высота сегмента $h = 0,5$ м.

Подставим данные значения в формулу:

$V_{сегм} = \frac{1}{6} \pi \cdot 0,5 \cdot (3 \cdot (1,5)^2 + (0,5)^2)$

$V_{сегм} = \frac{0,5\pi}{6} \cdot (3 \cdot 2,25 + 0,25)$

$V_{сегм} = \frac{\pi}{12} \cdot (6,75 + 0,25)$

$V_{сегм} = \frac{\pi}{12} \cdot 7 = \frac{7\pi}{12}$ м?

Поскольку к цистерне присоединены два таких сегмента, их суммарный объем ($V_{2сегм}$) будет:

$V_{2сегм} = 2 \cdot V_{сегм} = 2 \cdot \frac{7\pi}{12} = \frac{14\pi}{12} = \frac{7\pi}{6}$ м?

2. Вычисление объема цилиндрической части

Общий объем цистерны ($V_{общ}$) равен сумме объема цилиндра ($V_{цил}$) и объема двух сегментов.

$V_{общ} = V_{цил} + V_{2сегм}$

Отсюда можем найти объем цилиндрической части, зная, что $V_{общ} = 50$ м?:

$V_{цил} = V_{общ} - V_{2сегм} = 50 - \frac{7\pi}{6}$ м?

3. Вычисление длины образующей цилиндра

Объем цилиндра также находится по формуле:

$V_{цил} = S_{осн} \cdot L = \pi r^2 L$

где $r$ – радиус основания цилиндра ($r=1,5$ м), а $L$ – его высота (длина образующей).

Выразим $L$ из этой формулы:

$L = \frac{V_{цил}}{\pi r^2}$

Подставим известные значения:

$L = \frac{50 - \frac{7\pi}{6}}{\pi \cdot (1,5)^2} = \frac{50 - \frac{7\pi}{6}}{2,25\pi}$

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$L = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{\frac{7\pi}{6}}{2,25\pi} = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{7}{6 \cdot 2,25} = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{7}{13,5}$

Теперь проведем вычисления, приняв $\pi \approx 3,1416$:

$L \approx \frac{50}{2,25 \cdot 3,1416} - \frac{7}{13,5} \approx \frac{50}{7,0686} - 0,5185$

$L \approx 7,0736 - 0,5185 \approx 6,5551$ м

Округлим результат до сотых.

Ответ: Длина образующей цилиндра должна быть примерно 6,56 м.