Номер 548, страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

548. В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α, вписан шар. Найдите объём шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ – радиус шара. Для решения задачи необходимо найти радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

По условию, все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Основанием пирамиды является ромб. Центром вписанной в ромб окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку $O$.

Центр вписанного в такую пирамиду шара лежит на ее высоте. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту пирамиды $SO$ и перпендикулярной одной из сторон основания. Это сечение содержит высоту $SO$, радиус вписанной в основание окружности $OK$ (где $K$ – точка касания) и апофему боковой грани $SK$. Треугольник $SOK$ является прямоугольным ($\angle SOK = 90^\circ$). Угол $\angle SKO = \beta$ – это угол наклона боковой грани к основанию.

Радиус $r$ вписанного в пирамиду шара можно найти из прямоугольного треугольника $SOK$. Центр шара $O_s$ лежит на высоте $SO$ и равноудален от основания (катет $OK$) и боковой грани (гипотенуза $SK$). Таким образом, радиус шара $r$ связан с радиусом вписанной в основание окружности $r_{in} = OK$ и углом $\beta$ соотношением:

$r = r_{in} \cdot \tan\frac{\beta}{2}$

Теперь найдем радиус $r_{in}$ окружности, вписанной в ромб. Высота ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ равна $h = a \sin\alpha$. Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:

$r_{in} = \frac{h}{2} = \frac{a \sin\alpha}{2}$

Подставим найденное значение $r_{in}$ в формулу для радиуса шара $r$:

$r = \frac{a \sin\alpha}{2} \cdot \tan\frac{\beta}{2}$

Наконец, найдем объем шара, подставив выражение для $r$ в формулу объема:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a \sin\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2}\right)^3$

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3 \sin^3\alpha \tan^3\frac{\beta}{2}}{8}$

$V = \frac{4\pi a^3}{24} \sin^3\alpha \tan^3\frac{\beta}{2} = \frac{\pi a^3}{6} \sin^3\alpha \tan^3\frac{\beta}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{6} \sin^3\alpha \tan^3\frac{\beta}{2}$