Номер 544, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

544. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм.

Решение

Для нахождения объёма конуса воспользуемся формулой: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

По условию задачи, радиус основания конуса $R = 6$ дм, а радиус вписанной в конус сферы $r = 3$ дм. Нам необходимо найти высоту конуса $H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся сечением вписанной сферы. Обозначим вершины треугольника как $A$ (вершина конуса), $B$ и $C$ (точки на окружности основания). Высота конуса $H$ соответствует высоте $AM$ треугольника, а радиус основания $R$ — отрезку $MC$. Таким образом, $AM = H$ и $MC = R = 6$ дм.

Центр вписанной окружности $O$ (который совпадает с центром вписанной сферы) лежит на высоте $AM$. Радиус этой окружности равен $r = 3$ дм. Проведём радиус $OK$ из точки $O$ к боковой стороне $AC$ (которая является образующей конуса $L$). По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен ей, следовательно, $OK \perp AC$.

Теперь мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle AMC$ (с прямым углом при $M$) и $\triangle AOK$ (с прямым углом при $K$). Эти треугольники подобны, так как у них есть общий острый угол $\angle CAM$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно: $\frac{MC}{OK} = \frac{AC}{AO}$

Выразим длины сторон через известные величины $R, r$ и неизвестную высоту $H$. Сторона $MC = R = 6$ дм. Радиус $OK = r = 3$ дм. Длина отрезка $AO$ равна разности высоты конуса и радиуса вписанной сферы: $AO = AM - OM = H - r = H - 3$. Длину образующей $AC$ (обозначим ее $L$) найдём по теореме Пифагора из треугольника $\triangle AMC$: $AC = L = \sqrt{AM^2 + MC^2} = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + 6^2} = \sqrt{H^2 + 36}$.

Подставим полученные выражения в пропорцию: $\frac{6}{3} = \frac{\sqrt{H^2 + 36}}{H - 3}$

Упростим и решим это уравнение относительно $H$: $2 = \frac{\sqrt{H^2 + 36}}{H - 3}$ $2(H - 3) = \sqrt{H^2 + 36}$

Возведём обе части уравнения в квадрат. Заметим, что левая часть должна быть положительной, т.е. $H - 3 > 0$, откуда $H > 3$. $(2(H - 3))^2 = (\sqrt{H^2 + 36})^2$ $4(H^2 - 6H + 9) = H^2 + 36$ $4H^2 - 24H + 36 = H^2 + 36$ $3H^2 - 24H = 0$ $3H(H - 8) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $H_1 = 0$ и $H_2 = 8$. Решение $H=0$ не имеет физического смысла для конуса. Следовательно, высота конуса $H = 8$ дм. Это решение удовлетворяет условию $H > 3$.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить объём конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 12\pi \cdot 8 = 96\pi$ дм$^3$.

Ответ: $96\pi$ дм$^3$.