Номер 546, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

546. В усечённый конус, радиусы оснований которого равны r и r₁, вписан шар. Найдите отношение объёмов усечённого конуса и шара.

Пусть $r$ и $r_1$ — радиусы оснований усеченного конуса, $H$ — его высота, $L$ — образующая, а $R_{ш}$ — радиус вписанного шара.

Объём усечённого конуса ($V_{кон}$) вычисляется по формуле:$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi H (r^2 + r r_1 + r_1^2)$

Объём шара ($V_{шара}$) вычисляется по формуле:$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R_{ш}^3$

Для нахождения соотношения между объёмами необходимо связать их параметры ($H$, $R_{ш}$) с радиусами оснований ($r$, $r_1$).

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, в который вписан шар. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию с вписанной в неё окружностью (которая является большим кругом шара).

Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2r$ и $2r_1$. Высота трапеции равна высоте усечённого конуса $H$. Поскольку окружность вписана в трапецию и касается её оснований, её диаметр равен высоте трапеции. Следовательно, высота конуса равна диаметру вписанного шара:$H = 2R_{ш}$

Ключевым свойством описанного четырёхугольника (трапеции, в которую можно вписать окружность) является равенство сумм длин противоположных сторон. Для нашей трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон (образующих конуса):$2r + 2r_1 = L + L = 2L$Отсюда находим длину образующей:$L = r + r_1$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $H$, образующей $L$ (в качестве гипотенузы) и отрезком на большем основании, равным разности радиусов $r - r_1$ (при условии, что $r > r_1$). По теореме Пифагора:$L^2 = H^2 + (r - r_1)^2$

Подставим в это уравнение выражение для $L$:$(r + r_1)^2 = H^2 + (r - r_1)^2$Выразим отсюда $H^2$:$H^2 = (r + r_1)^2 - (r - r_1)^2$Раскроем скобки (или воспользуемся формулой разности квадратов):$H^2 = (r^2 + 2rr_1 + r_1^2) - (r^2 - 2rr_1 + r_1^2) = 4rr_1$Следовательно, высота конуса:$H = \sqrt{4rr_1} = 2\sqrt{rr_1}$

Зная, что $H = 2R_{ш}$, мы можем найти радиус вписанного шара:$2R_{ш} = 2\sqrt{rr_1} \implies R_{ш} = \sqrt{rr_1}$

Теперь у нас есть все необходимые величины, выраженные через $r$ и $r_1$. Подставим их в формулы объёмов:$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi H (r^2 + rr_1 + r_1^2) = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{rr_1}) (r^2 + rr_1 + r_1^2)$$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R_{ш}^3 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{rr_1})^3 = \frac{4}{3} \pi rr_1\sqrt{rr_1}$

Найдём искомое отношение объёмов:$\frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3} \pi (2\sqrt{rr_1}) (r^2 + rr_1 + r_1^2)}{\frac{4}{3} \pi rr_1\sqrt{rr_1}}$

Сократим общие множители ($\frac{1}{3}$, $\pi$, $\sqrt{rr_1}$):$\frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{2(r^2 + rr_1 + r_1^2)}{4rr_1} = \frac{r^2 + rr_1 + r_1^2}{2rr_1}$

Ответ: $\frac{r^2 + rr_1 + r_1^2}{2rr_1}$