gdz.top
Номер 542, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Объёмы тел. Параграф 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи - номер 542, страница 140.
№541
№542 (с. 140)
Условие. №542 (с. 140)
542. Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым углом φ. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол θ. Найдите объём конуса.
Решение 2. №542 (с. 140)
Решение 6. №542 (с. 140)
Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.
Поскольку конус вписан в пирамиду, его основание (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Радиус $R$ этой вписанной окружности равен половине высоты ромба.
Найдём высоту ромба $h_p$. В ромбе со стороной $a$ и острым углом $\phi$ высота равна $h_p = a \sin\phi$.
Следовательно, радиус основания конуса равен: $R = \frac{h_p}{2} = \frac{a \sin\phi}{2}$.
Далее найдём высоту конуса $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей. По условию, образующая составляет с плоскостью основания угол $\theta$. В данном треугольнике этот угол является углом между образующей (гипотенузой) и радиусом основания (прилежащим катетом).
Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем: $\tan\theta = \frac{H}{R}$.
Отсюда выражаем высоту конуса $H$: $H = R \cdot \tan\theta = \frac{a \sin\phi}{2} \tan\theta$.
Теперь, зная радиус $R$ и высоту $H$, мы можем вычислить объём конуса, подставив найденные значения в исходную формулу: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a \sin\phi}{2}\right)^2 \left(\frac{a \sin\phi \tan\theta}{2}\right)$.
Упростим полученное выражение: $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2 \sin^2\phi}{4}\right) \left(\frac{a \sin\phi \tan\theta}{2}\right) = \frac{\pi a^3 \sin^3\phi \tan\theta}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\pi a^3 \sin^3\phi \tan\theta}{24}$.
Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^3\phi \tan\theta}{24}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 542 расположенного на странице 140 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №542 (с. 140), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.