Номер 537, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи. Глава 5. Объёмы тел - номер 537, страница 140.

Условие.

537. В усечённой пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2 : 5. В каком отношении делится её объём плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?

Решение 2.

Решение 6.

Пусть `a_1` и `a_2` — соответственные стороны меньшего и большего оснований усечённой пирамиды. По условию задачи, их отношение составляет `a_1 : a_2 = 2 : 5`.

Площади оснований, `S_1` и `S_2`, относятся как квадраты их соответственных сторон, поскольку основания являются подобными многоугольниками:`\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}`.

Пусть `h` — высота усечённой пирамиды. Секущая плоскость проходит через середину высоты параллельно основаниям. Эта плоскость делит исходную усечённую пирамиду на две новые усечённые пирамиды (верхнюю и нижнюю), каждая из которых имеет высоту `\frac{h}{2}`.

Обозначим площадь среднего сечения как `S_{ср}`. Для усечённой пирамиды сторона сечения, проходящего через середину высоты, является средним арифметическим соответственных сторон оснований. Пусть `a_{ср}` — сторона среднего сечения, тогда:`a_{ср} = \frac{a_1 + a_2}{2}`.Если принять `a_1 = 2k` и `a_2 = 5k` для некоторого коэффициента пропорциональности `k`, то`a_{ср} = \frac{2k + 5k}{2} = \frac{7k}{2} = 3.5k`.

Теперь мы можем найти отношение площадей всех трёх плоскостей (верхнего основания, среднего сечения и нижнего основания):`S_1 : S_{ср} : S_2 = a_1^2 : a_{ср}^2 : a_2^2 = (2k)^2 : (3.5k)^2 : (5k)^2 = 4k^2 : 12.25k^2 : 25k^2`.Чтобы работать с целыми числами, умножим все части отношения на 4:`16 : 49 : 100`.Примем для удобства расчетов `S_1 = 16S`, `S_{ср} = 49S` и `S_2 = 100S` для некоторой условной единицы площади `S`.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:`V = \frac{1}{3}H(S_A + S_B + \sqrt{S_A S_B})`, где `H` — её высота, а `S_A` и `S_B` — площади её оснований.

Найдём объём верхней части `V_{верх}`, образованной сечением. Её основания — `S_1` и `S_{ср}`, а высота — `\frac{h}{2}`:`V_{верх} = \frac{1}{3} \cdot \frac{h}{2} (S_1 + S_{ср} + \sqrt{S_1 S_{ср}}) = \frac{h}{6} (16S + 49S + \sqrt{16S \cdot 49S})``V_{верх} = \frac{h}{6} (65S + \sqrt{784S^2}) = \frac{h}{6} (65S + 28S) = \frac{h}{6} \cdot 93S`.

Теперь найдём объём нижней части `V_{ниж}`. Её основания — `S_{ср}` и `S_2`, а высота — также `\frac{h}{2}`:`V_{ниж} = \frac{1}{3} \cdot \frac{h}{2} (S_{ср} + S_2 + \sqrt{S_{ср} S_2}) = \frac{h}{6} (49S + 100S + \sqrt{49S \cdot 100S})``V_{ниж} = \frac{h}{6} (149S + \sqrt{4900S^2}) = \frac{h}{6} (149S + 70S) = \frac{h}{6} \cdot 219S`.

Искомое отношение объёмов этих двух частей равно:`\frac{V_{верх}}{V_{ниж}} = \frac{\frac{h}{6} \cdot 93S}{\frac{h}{6} \cdot 219S} = \frac{93}{219}`.Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя (`9+3=12`) и знаменателя (`2+1+9=12`) делится на 3, значит, оба числа делятся на 3:`\frac{93 \div 3}{219 \div 3} = \frac{31}{73}`.Числа 31 и 73 являются простыми, следовательно, это окончательное отношение.

Ответ: плоскость делит объём усечённой пирамиды в отношении 31:73, считая от меньшего основания.