Номер 537, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

537. В усечённой пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2 : 5. В каком отношении делится её объём плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?

Пусть $a_1$ и $a_2$ — соответственные стороны меньшего и большего оснований усечённой пирамиды. По условию задачи, их отношение составляет $a_1 : a_2 = 2 : 5$.

Площади оснований, $S_1$ и $S_2$, относятся как квадраты их соответственных сторон, поскольку основания являются подобными многоугольниками:$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$.

Пусть $h$ — высота усечённой пирамиды. Секущая плоскость проходит через середину высоты параллельно основаниям. Эта плоскость делит исходную усечённую пирамиду на две новые усечённые пирамиды (верхнюю и нижнюю), каждая из которых имеет высоту $\frac{h}{2}$.

Обозначим площадь среднего сечения как $S_{ср}$. Для усечённой пирамиды сторона сечения, проходящего через середину высоты, является средним арифметическим соответственных сторон оснований. Пусть $a_{ср}$ — сторона среднего сечения, тогда:$a_{ср} = \frac{a_1 + a_2}{2}$.Если принять $a_1 = 2k$ и $a_2 = 5k$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$, то$a_{ср} = \frac{2k + 5k}{2} = \frac{7k}{2} = 3.5k$.

Теперь мы можем найти отношение площадей всех трёх плоскостей (верхнего основания, среднего сечения и нижнего основания):$S_1 : S_{ср} : S_2 = a_1^2 : a_{ср}^2 : a_2^2 = (2k)^2 : (3.5k)^2 : (5k)^2 = 4k^2 : 12.25k^2 : 25k^2$.Чтобы работать с целыми числами, умножим все части отношения на 4:$16 : 49 : 100$.Примем для удобства расчетов $S_1 = 16S$, $S_{ср} = 49S$ и $S_2 = 100S$ для некоторой условной единицы площади $S$.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3}H(S_A + S_B + \sqrt{S_A S_B})$, где $H$ — её высота, а $S_A$ и $S_B$ — площади её оснований.

Найдём объём верхней части $V_{верх}$, образованной сечением. Её основания — $S_1$ и $S_{ср}$, а высота — $\frac{h}{2}$:$V_{верх} = \frac{1}{3} \cdot \frac{h}{2} (S_1 + S_{ср} + \sqrt{S_1 S_{ср}}) = \frac{h}{6} (16S + 49S + \sqrt{16S \cdot 49S})$$V_{верх} = \frac{h}{6} (65S + \sqrt{784S^2}) = \frac{h}{6} (65S + 28S) = \frac{h}{6} \cdot 93S$.

Теперь найдём объём нижней части $V_{ниж}$. Её основания — $S_{ср}$ и $S_2$, а высота — также $\frac{h}{2}$:$V_{ниж} = \frac{1}{3} \cdot \frac{h}{2} (S_{ср} + S_2 + \sqrt{S_{ср} S_2}) = \frac{h}{6} (49S + 100S + \sqrt{49S \cdot 100S})$$V_{ниж} = \frac{h}{6} (149S + \sqrt{4900S^2}) = \frac{h}{6} (149S + 70S) = \frac{h}{6} \cdot 219S$.

Искомое отношение объёмов этих двух частей равно:$\frac{V_{верх}}{V_{ниж}} = \frac{\frac{h}{6} \cdot 93S}{\frac{h}{6} \cdot 219S} = \frac{93}{219}$.Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя ($9+3=12$) и знаменателя ($2+1+9=12$) делится на 3, значит, оба числа делятся на 3:$\frac{93 \div 3}{219 \div 3} = \frac{31}{73}$.Числа 31 и 73 являются простыми, следовательно, это окончательное отношение.

Ответ: плоскость делит объём усечённой пирамиды в отношении 31:73, считая от меньшего основания.