Номер 534, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

534. Основанием четырёхугольной пирамиды, высота которой равна Н, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом α. Попарно равные противоположные боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания углы β и γ. Найдите объём пирамиды.

Пусть $SABCD$ — данная четырехугольная пирамида, где основание $ABCD$ — параллелограмм, а $S$ — вершина. Высота пирамиды по условию равна $H$. Пусть диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha$.

Поскольку противоположные боковые рёбра попарно равны ($SA=SC$ и $SB=SD$), вершина пирамиды $S$ проецируется в точку пересечения диагоналей основания $O$. Это означает, что высота пирамиды — это отрезок $SO$, и его длина $SO=H$.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. По условию, одна пара равных боковых рёбер (например, $SA$ и $SC$) образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $AO$, следовательно, $\angle SAO = \beta$. Вторая пара рёбер ($SB$ и $SD$) образует угол $\gamma$, т.е. $\angle SBO = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (с прямым углом при вершине $O$). Из него можно выразить половину диагонали $AC$:$AO = \frac{SO}{\text{tg}(\beta)} = \frac{H}{\text{tg}(\beta)} = H \text{ctg}(\beta)$.Тогда вся диагональ $AC = d_1 = 2 \cdot AO = 2H \text{ctg}(\beta)$.

Аналогично, из прямоугольного треугольника $\triangle SBO$ выразим половину диагонали $BD$:$BO = \frac{SO}{\text{tg}(\gamma)} = \frac{H}{\text{tg}(\gamma)} = H \text{ctg}(\gamma)$.Тогда вся диагональ $BD = d_2 = 2 \cdot BO = 2H \text{ctg}(\gamma)$.

Площадь основания пирамиды, то есть площадь параллелограмма $ABCD$, вычисляется через его диагонали и угол между ними по формуле:$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$.Подставим найденные выражения для длин диагоналей:$S_{осн} = \frac{1}{2} (2H \text{ctg}(\beta)) (2H \text{ctg}(\gamma)) \sin(\alpha) = 2H^2 \text{ctg}(\beta) \text{ctg}(\gamma) \sin(\alpha)$.

Объём пирамиды находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$. Подставим в неё выражение для площади основания:$V = \frac{1}{3} (2H^2 \text{ctg}(\beta) \text{ctg}(\gamma) \sin(\alpha)) \cdot H$.

Окончательно получаем объём пирамиды:$V = \frac{2}{3} H^3 \text{ctg}(\beta) \text{ctg}(\gamma) \sin(\alpha)$.

Ответ: $V = \frac{2}{3} H^3 \sin(\alpha) \text{ctg}(\beta) \text{ctg}(\gamma)$.