Номер 538, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

538. Найдите объём цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности равна S, а площадь основания равна Q; б) осевое сечение является квадратом, а высота равна h; в) осевое сечение является квадратом, а площадь полной поверхности равна S.

а) Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = Q_{осн} \cdot h$, где $Q_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота. По условию, площадь основания $Q_{осн} = Q$, следовательно, $V = Q \cdot h$. Нам нужно выразить высоту $h$ через данные величины $S$ и $Q$.
Площадь основания цилиндра (круга) равна $Q = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Отсюда можно выразить радиус: $r = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S = 2 \pi r h$. Выразим высоту $h$ из этой формулы: $h = \frac{S}{2 \pi r}$.
Подставим выражение для $r$ в формулу для $h$:
$h = \frac{S}{2 \pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}}} = \frac{S}{2 \sqrt{\pi^2 \cdot \frac{Q}{\pi}}} = \frac{S}{2 \sqrt{\pi Q}}$.
Теперь подставим найденное выражение для $h$ в формулу объёма:
$V = Q \cdot h = Q \cdot \frac{S}{2 \sqrt{\pi Q}} = \frac{S \cdot Q}{2 \sqrt{\pi Q}}$.
Упростим выражение, учитывая, что $Q = \sqrt{Q^2}$:
$V = \frac{S \cdot \sqrt{Q^2}}{2 \sqrt{\pi Q}} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q^2}{\pi Q}} = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$.
Ответ: $V = \frac{S}{2} \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$.

б) Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d = 2r$, где $r$ — радиус основания.
По условию, осевое сечение является квадратом. Это означает, что его стороны равны: $d = h$.
Следовательно, $2r = h$, откуда радиус основания $r = \frac{h}{2}$.
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.
Подставим в эту формулу выражение для радиуса $r$ через данную высоту $h$:
$V = \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \pi \frac{h^2}{4} h = \frac{\pi h^3}{4}$.
Ответ: $V = \frac{\pi h^3}{4}$.

в) Так как осевое сечение является квадратом, высота цилиндра $h$ равна его диаметру $d = 2r$. То есть, $h = 2r$.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 Q_{осн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$.
По условию, площадь полной поверхности равна $S$.
Подставим в формулу площади полной поверхности соотношение $h = 2r$:
$S = 2 \pi r (2r) + 2 \pi r^2 = 4 \pi r^2 + 2 \pi r^2 = 6 \pi r^2$.
Из этого соотношения выразим $r^2$:
$r^2 = \frac{S}{6 \pi}$.
Нам также понадобится высота $h$. Так как $h=2r$, то $h = 2\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}$.
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.
Подставим найденные выражения для $r^2$ и $h$ в формулу объёма:
$V = \pi \left(\frac{S}{6 \pi}\right) \left(2\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}\right) = \frac{S}{6} \cdot 2\sqrt{\frac{S}{6 \pi}} = \frac{S}{3}\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}$.
Это выражение можно представить в более компактном виде:
$V = \frac{S}{3}\sqrt{\frac{S}{6 \pi}} = \sqrt{\frac{S^2}{9} \cdot \frac{S}{6 \pi}} = \sqrt{\frac{S^3}{54\pi}}$.
Ответ: $V = \sqrt{\frac{S^3}{54\pi}}$.