Номер 531, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

531. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен 2φ. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $S$ — вершина, а $ABC$ — основание. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот). Тогда $SO$ — высота пирамиды, и по условию $SO = h$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ — площадь основания.

Чтобы найти объём, нам необходимо выразить площадь основания через известные величины $h$ и $?$. Пусть сторона основания $AB = BC = AC = a$. Тогда площадь основания равна: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Рассмотрим двугранный угол при боковом ребре, например, при ребре $SB$. Этот угол образован гранями $ASB$ и $CSB$. По условию, его величина равна $2?$.

Для измерения этого двугранного угла построим его линейный угол. Проведём в плоскости грани $ASB$ высоту $AK$ к ребру $SB$ ($AK \perp SB$). Так как пирамида правильная, боковые грани $ASB$ и $CSB$ являются равными равнобедренными треугольниками. Следовательно, высота $CK$ в треугольнике $CSB$, проведённая к стороне $SB$, также попадёт в точку $K$. Таким образом, $CK \perp SB$.

Угол $?AKC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $SB$, поэтому $?AKC = 2?$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. Он равнобедренный, так как $AK = CK$ (как высоты в равных треугольниках). $AC = a$ — основание этого треугольника. Проведём медиану $KM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой. Значит, $KM \perp AC$, $M$ — середина $AC$, и $?AKM = \frac{1}{2} ?AKC = ?$.

В прямоугольном треугольнике $AKM$ катет $AM = \frac{a}{2}$. Мы можем выразить $AK$: $AM = AK \cdot \sin(?AKM)$ $\frac{a}{2} = AK \cdot \sin(?) \implies AK = \frac{a}{2 \sin(?)}$

Теперь найдём связь между стороной основания $a$ и высотой пирамиды $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. $SO = h$. $OA$ — радиус окружности, описанной около основания $ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R = OA = \frac{a}{\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора для $\triangle SOA$: $SA^2 = SO^2 + OA^2 = h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{3}$ $SA$ — это боковое ребро пирамиды. Обозначим его длину $l$. Итак, $l^2 = h^2 + \frac{a^2}{3}$.

Теперь рассмотрим боковую грань, треугольник $ASB$. Его площадь можно вычислить двумя способами: 1. $S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot AK = \frac{1}{2} l \cdot AK$ 2. Пусть $D$ — середина стороны основания $AB$. Тогда $SD$ — апофема боковой грани. $S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SD = \frac{1}{2} a \cdot SD$. Приравняем эти выражения: $l \cdot AK = a \cdot SD$.

Найдём длину апофемы $SD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOD$. $SO=h$. $OD$ — радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника $r = OD = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора для $\triangle SOD$: $SD^2 = SO^2 + OD^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{12}$ $SD = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

Подставим все найденные выражения в равенство $l \cdot AK = a \cdot SD$: $\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{3}} \cdot \frac{a}{2 \sin(?)} = a \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

Сократим на $a$ (так как $a \neq 0$) и возведём обе части в квадрат: $\left(h^2 + \frac{a^2}{3}\right) \cdot \frac{1}{4 \sin^2(?)} = h^2 + \frac{a^2}{12}$ $h^2 + \frac{a^2}{3} = 4 \sin^2(?) \left(h^2 + \frac{a^2}{12}\right)$ $h^2 + \frac{a^2}{3} = 4h^2 \sin^2(?) + \frac{4a^2 \sin^2(?)}{12}$ $h^2 + \frac{a^2}{3} = 4h^2 \sin^2(?) + \frac{a^2 \sin^2(?)}{3}$

Сгруппируем слагаемые с $a^2$ и с $h^2$: $\frac{a^2}{3} - \frac{a^2 \sin^2(?)}{3} = 4h^2 \sin^2(?) - h^2$ $\frac{a^2}{3} (1 - \sin^2(?)) = h^2 (4 \sin^2(?) - 1)$ $\frac{a^2}{3} \cos^2(?) = h^2 (4 \sin^2(?) - 1)$

Выразим $a^2$: $a^2 = \frac{3h^2 (4 \sin^2(?) - 1)}{\cos^2(?)}$

Теперь можем найти площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3h^2 (4 \sin^2(?) - 1)}{\cos^2(?)} = \frac{3\sqrt{3} h^2 (4 \sin^2(?) - 1)}{4\cos^2(?)}$

И, наконец, объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3} h^2 (4 \sin^2(?) - 1)}{4\cos^2(?)} \cdot h$ $V = \frac{\sqrt{3} h^3 (4 \sin^2(?) - 1)}{4\cos^2(?)}$

Это выражение можно упростить, разделив числитель и знаменатель почленно: $\frac{4 \sin^2(?) - 1}{\cos^2(?)} = 4 \frac{\sin^2(?)}{\cos^2(?)} - \frac{1}{\cos^2(?)} = 4\tan^2(?) - \sec^2(?)$ Используя тождество $\sec^2(?) = 1 + \tan^2(?)$, получаем: $4\tan^2(?) - (1 + \tan^2(?)) = 3\tan^2(?) - 1$

Подставим это в формулу для объёма: $V = \frac{\sqrt{3} h^3}{4} (3\tan^2(?) - 1)$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3} h^3}{4} (3\tan^2(?) - 1)$