Номер 526, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи. Глава 5. Объёмы тел - номер 526, страница 139.

526. Докажите, что объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

Доказательство

Рассмотрим произвольную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Обозначим её объём как $V$. Боковые грани призмы — это параллелограммы $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $CAA_1C_1$. Боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны. Обозначим длину бокового ребра через $L$.

Выберем одну из боковых граней, например, грань, содержащую рёбра $A_1A$ и $B_1B$. Обозначим её площадь как $S_{бок} = S_{ABB_1A_1}$. Третье боковое ребро $CC_1$ параллельно этой грани, так как ребро $CC_1$ параллельно ребру $BB_1$, а ребро $BB_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.

Обозначим через $d$ расстояние от ребра $CC_1$ до плоскости грани $ABB_1A_1$. Поскольку ребро параллельно плоскости, это расстояние постоянно и равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки ребра $CC_1$ на плоскость $(ABB_1A_1)$.

Требуется доказать, что объём призмы вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{2} S_{бок} \cdot d$.

Объём любой призмы (как прямой, так и наклонной) можно вычислить по формуле: $V = S_{\perp} \cdot L$ где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы, а $L$ — длина бокового ребра.

Построим перпендикулярное сечение призмы — треугольник $A'B'C'$, плоскость которого перпендикулярна боковым рёбрам. Вершины этого треугольника лежат на рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ соответственно. Тогда объём призмы равен $V = S_{A'B'C'} \cdot L$.

Площадь треугольника $A'B'C'$ выражается через длину его стороны и высоту, проведённую к этой стороне: $S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} |A'B'| \cdot h_{C'}$ где $h_{C'}$ — длина высоты, опущенной из вершины $C'$ на сторону $A'B'$.

Теперь рассмотрим площадь боковой грани $S_{бок} = S_{ABB_1A_1}$. Грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. Её площадь равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней. Выберем в качестве стороны боковое ребро $AA_1$ (его длина $L$). Высотой к этой стороне является расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $BB_1$. Так как плоскость сечения $A'B'C'$ по определению перпендикулярна боковым рёбрам, то отрезок $A'B'$ перпендикулярен и $AA_1$, и $BB_1$. Следовательно, длина отрезка $|A'B'|$ равна расстоянию между рёбрами $AA_1$ и $BB_1$. Таким образом, площадь боковой грани: $S_{бок} = |AA_1| \cdot |A'B'| = L \cdot |A'B'|$.

Далее необходимо установить связь между высотой $h_{C'}$ перпендикулярного сечения и заданным расстоянием $d$. Пусть $H$ — основание высоты, опущенной из точки $C'$ на прямую $A'B'$. Тогда $h_{C'} = |C'H|$. По определению высоты, отрезок $C'H$ перпендикулярен прямой $A'B'$, то есть $C'H \perp A'B'$. Расстояние $d$ от ребра $CC_1$ до плоскости $ABB_1A_1$ равно расстоянию от любой точки на ребре $CC_1$, например $C'$, до этой плоскости. Докажем, что отрезок $C'H$ является перпендикуляром к плоскости $ABB_1A_1$.

Для этого нужно показать, что $C'H$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в этой плоскости. 1. Мы уже знаем, что $C'H \perp A'B'$ по построению. 2. По определению перпендикулярного сечения, плоскость $A'B'C'$ перпендикулярна боковому ребру $AA_1$. Это означает, что любая прямая, лежащая в плоскости $A'B'C'$, перпендикулярна прямой $AA_1$. Так как $C'H$ лежит в плоскости $A'B'C'$, то $C'H \perp AA_1$. 3. Прямые $A'B'$ и $AA_1$ обе лежат в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$ и пересекаются в точке $A'$.

Поскольку прямая $C'H$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A'B'$ и $AA_1$) в плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, длина высоты $h_{C'} = |C'H|$ и есть расстояние от точки $C'$ до плоскости $ABB_1A_1$, то есть $h_{C'} = d$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для объёма призмы: $V = S_{A'B'C'} \cdot L = \left( \frac{1}{2} |A'B'| \cdot h_{C'} \right) \cdot L$

Заменим $h_{C'}$ на $d$ и перегруппируем множители: $V = \frac{1}{2} (L \cdot |A'B'|) \cdot d$

Ранее мы установили, что $S_{бок} = L \cdot |A'B'|$. Подставив это в выражение для объёма, получаем: $V = \frac{1}{2} S_{бок} \cdot d$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра, что выражается формулой $V = \frac{1}{2} S_{бок} \cdot d$.