Номер 526, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Объёмы тел. Параграф 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи - номер 526, страница 139.

Условие.

526. Докажите, что объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

Решение 2.

Решение 6.

Доказательство

Рассмотрим произвольную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Обозначим её объём как $V$. Боковые грани призмы — это параллелограммы $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $CAA_1C_1$. Боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны. Обозначим длину бокового ребра через $L$.

Выберем одну из боковых граней, например, грань, содержащую рёбра $A_1A$ и $B_1B$. Обозначим её площадь как $S_{бок} = S_{ABB_1A_1}$. Третье боковое ребро $CC_1$ параллельно этой грани, так как ребро $CC_1$ параллельно ребру $BB_1$, а ребро $BB_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.

Обозначим через $d$ расстояние от ребра $CC_1$ до плоскости грани $ABB_1A_1$. Поскольку ребро параллельно плоскости, это расстояние постоянно и равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки ребра $CC_1$ на плоскость $(ABB_1A_1)$.

Требуется доказать, что объём призмы вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{2} S_{бок} \cdot d$.

Объём любой призмы (как прямой, так и наклонной) можно вычислить по формуле: $V = S_{\perp} \cdot L$ где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы, а $L$ — длина бокового ребра.

Построим перпендикулярное сечение призмы — треугольник $A'B'C'$, плоскость которого перпендикулярна боковым рёбрам. Вершины этого треугольника лежат на рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ соответственно. Тогда объём призмы равен $V = S_{A'B'C'} \cdot L$.

Площадь треугольника $A'B'C'$ выражается через длину его стороны и высоту, проведённую к этой стороне: $S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} |A'B'| \cdot h_{C'}$ где $h_{C'}$ — длина высоты, опущенной из вершины $C'$ на сторону $A'B'$.

Теперь рассмотрим площадь боковой грани $S_{бок} = S_{ABB_1A_1}$. Грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. Её площадь равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней. Выберем в качестве стороны боковое ребро $AA_1$ (его длина $L$). Высотой к этой стороне является расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $BB_1$. Так как плоскость сечения $A'B'C'$ по определению перпендикулярна боковым рёбрам, то отрезок $A'B'$ перпендикулярен и $AA_1$, и $BB_1$. Следовательно, длина отрезка $|A'B'|$ равна расстоянию между рёбрами $AA_1$ и $BB_1$. Таким образом, площадь боковой грани: $S_{бок} = |AA_1| \cdot |A'B'| = L \cdot |A'B'|$.

Далее необходимо установить связь между высотой $h_{C'}$ перпендикулярного сечения и заданным расстоянием $d$. Пусть $H$ — основание высоты, опущенной из точки $C'$ на прямую $A'B'$. Тогда $h_{C'} = |C'H|$. По определению высоты, отрезок $C'H$ перпендикулярен прямой $A'B'$, то есть $C'H \perp A'B'$. Расстояние $d$ от ребра $CC_1$ до плоскости $ABB_1A_1$ равно расстоянию от любой точки на ребре $CC_1$, например $C'$, до этой плоскости. Докажем, что отрезок $C'H$ является перпендикуляром к плоскости $ABB_1A_1$.

Для этого нужно показать, что $C'H$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в этой плоскости. 1. Мы уже знаем, что $C'H \perp A'B'$ по построению. 2. По определению перпендикулярного сечения, плоскость $A'B'C'$ перпендикулярна боковому ребру $AA_1$. Это означает, что любая прямая, лежащая в плоскости $A'B'C'$, перпендикулярна прямой $AA_1$. Так как $C'H$ лежит в плоскости $A'B'C'$, то $C'H \perp AA_1$. 3. Прямые $A'B'$ и $AA_1$ обе лежат в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$ и пересекаются в точке $A'$.

Поскольку прямая $C'H$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A'B'$ и $AA_1$) в плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, длина высоты $h_{C'} = |C'H|$ и есть расстояние от точки $C'$ до плоскости $ABB_1A_1$, то есть $h_{C'} = d$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для объёма призмы: $V = S_{A'B'C'} \cdot L = \left( \frac{1}{2} |A'B'| \cdot h_{C'} \right) \cdot L$

Заменим $h_{C'}$ на $d$ и перегруппируем множители: $V = \frac{1}{2} (L \cdot |A'B'|) \cdot d$

Ранее мы установили, что $S_{бок} = L \cdot |A'B'|$. Подставив это в выражение для объёма, получаем: $V = \frac{1}{2} S_{бок} \cdot d$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра, что выражается формулой $V = \frac{1}{2} S_{бок} \cdot d$.