Страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

521. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и 32 см, а острый угол основания равен 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда.

Объём прямого параллелепипеда определяется формулой $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти площадь основания, затем найти высоту параллелепипеда и, наконец, вычислить объём.

1. Нахождение площади основания

Основанием параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 7$ см и $b = 3\sqrt{2}$ см, и острым углом между ними $\alpha = 45^\circ$. Площадь параллелограмма находится по формуле:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем данные задачи:

$S_{осн} = 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 21\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 21 \cdot \frac{2}{2} = 21 \text{ см}^2$.

2. Нахождение высоты параллелепипеда

По условию, меньшая диагональ параллелепипеда образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания. Эта диагональ, высота параллелепипеда ($h$) и меньшая диагональ основания ($d_1$) образуют прямоугольный треугольник. Угол $45^\circ$ — это угол между диагональю параллелепипеда и её проекцией на основание, то есть диагональю основания.

Сначала найдем длину меньшей диагонали основания ($d_1$). В параллелограмме меньшая диагональ лежит напротив острого угла. Используем теорему косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha)$

$d_1^2 = 7^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

$d_1^2 = 49 + 9 \cdot 2 - 42\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$d_1^2 = 49 + 18 - 42 = 25$

$d_1 = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$ и диагональю основания $d_1$, тангенс угла наклона диагонали параллелепипеда равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему ($d_1$):

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{d_1}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем, что $h = d_1$. Таким образом, высота параллелепипеда равна:

$h = 5 \text{ см}$.

3. Вычисление объёма параллелепипеда

Зная площадь основания ($S_{осн} = 21 \text{ см}^2$) и высоту ($h = 5 \text{ см}$), находим объём:

$V = S_{осн} \cdot h = 21 \cdot 5 = 105 \text{ см}^3$.

Ответ: $105 \text{ см}^3$.

522. В прямом параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали BD₁ и А₁С взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, AB = 3 см. Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат находится в вершине D. Введем три вектора, соответствующие ребрам параллелепипеда, выходящим из этой вершины: $\vec{DA} = \vec{u}$, $\vec{DC} = \vec{v}$, $\vec{DD_1} = \vec{w}$.

Пусть длины этих векторов равны $|\vec{u}| = b$, $|\vec{v}| = a$, $|\vec{w}| = h$.Из условия задачи известно, что сторона $AB = 3$ см. Так как основание $ABCD$ — параллелограмм, то $DC = AB$, следовательно, $a = |\vec{v}| = 3$ см.Поскольку параллелепипед прямой, его боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что вектор $\vec{w}$ перпендикулярен векторам $\vec{u}$ и $\vec{v}$, то есть их скалярные произведения равны нулю: $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ и $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$.

Выразим векторы диагоналей параллелепипеда $BD_1$ и $A_1C$ через введенные нами векторы $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$:
$\vec{BD_1} = \vec{D_1} - \vec{B} = \vec{w} - (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{w} - \vec{u} - \vec{v}$
$\vec{A_1C} = \vec{C} - \vec{A_1} = \vec{v} - (\vec{u} + \vec{w}) = \vec{v} - \vec{u} - \vec{w}$

По условию, длины этих диагоналей равны 6 см и 8 см. Возведем их длины в квадрат, используя скалярное произведение векторов на самих себя:
$|\vec{BD_1}|^2 = (\vec{w} - \vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{w} - \vec{u} - \vec{v}) = |\vec{w}|^2 + |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{w} \cdot \vec{u}) - 2(\vec{w} \cdot \vec{v}) + 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$
Учитывая, что $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ и $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$, получаем:
$|\vec{BD_1}|^2 = h^2 + b^2 + a^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 6^2 = 36$ (1)
Аналогично для второй диагонали:
$|\vec{A_1C}|^2 = (\vec{v} - \vec{u} - \vec{w}) \cdot (\vec{v} - \vec{u} - \vec{w}) = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 + |\vec{w}|^2 - 2(\vec{v} \cdot \vec{u}) - 2(\vec{v} \cdot \vec{w}) + 2(\vec{u} \cdot \vec{w})$
$|\vec{A_1C}|^2 = a^2 + b^2 + h^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 8^2 = 64$ (2)

Также по условию диагонали взаимно перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:
$\vec{BD_1} \cdot \vec{A_1C} = (\vec{w} - \vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{v} - \vec{u} - \vec{w}) = 0$
Раскроем скобки:
$(\vec{w} \cdot \vec{v}) - (\vec{w} \cdot \vec{u}) - (\vec{w} \cdot \vec{w}) - (\vec{u} \cdot \vec{v}) + (\vec{u} \cdot \vec{u}) + (\vec{u} \cdot \vec{w}) - (\vec{v} \cdot \vec{v}) + (\vec{v} \cdot \vec{u}) + (\vec{v} \cdot \vec{w}) = 0$
$0 - 0 - |\vec{w}|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{u}|^2 + 0 - |\vec{v}|^2 + (\vec{u} \cdot \vec{v}) + 0 = 0$
$|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0$, то есть $b^2 - a^2 - h^2 = 0$ (3)

Мы получили систему из трех уравнений с неизвестными $b, h$ и $(\vec{u} \cdot \vec{v})$, при известном $a=3$:
1) $h^2 + b^2 + a^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 36$
2) $h^2 + b^2 + a^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 64$
3) $b^2 - a^2 - h^2 = 0$
Сложим уравнения (1) и (2):
$2(h^2 + b^2 + a^2) = 36 + 64 = 100 \implies h^2 + b^2 + a^2 = 50$
Подставим $a=3$ ($a^2=9$):
$h^2 + b^2 + 9 = 50 \implies h^2 + b^2 = 41$ (4)
Из уравнения (3) выразим $b^2$:
$b^2 = a^2 + h^2 = 9 + h^2$ (5)
Подставим (5) в (4):
$h^2 + (9 + h^2) = 41 \implies 2h^2 = 32 \implies h^2 = 16 \implies h = 4$ см.

Объём прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Нам нужно найти площадь основания $S_{осн}$. Основание — это параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними. Его площадь $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin \alpha$.
Вычтем уравнение (2) из (1):
$4(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 36 - 64 = -28 \implies \vec{u} \cdot \vec{v} = -7$
С другой стороны, $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\alpha = b \cdot a \cdot \cos\alpha$.
Найдем $b$ из уравнения (5): $b^2 = 9 + h^2 = 9 + 16 = 25 \implies b=5$ см.
Теперь найдем косинус угла $\alpha$:
$5 \cdot 3 \cdot \cos\alpha = -7 \implies \cos\alpha = -\frac{7}{15}$
Найдем синус угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Так как угол в параллелограмме $0 < \alpha < \pi$, то $\sin\alpha > 0$.
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{7}{15}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{225}} = \sqrt{\frac{225-49}{225}} = \sqrt{\frac{176}{225}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 11}}{15} = \frac{4\sqrt{11}}{15}$
Теперь можем вычислить площадь основания:
$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin\alpha = 3 \cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{11}}{15} = 15 \cdot \frac{4\sqrt{11}}{15} = 4\sqrt{11}$ см$^2$.

Наконец, находим объём параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot h = 4\sqrt{11} \cdot 4 = 16\sqrt{11}$ см$^3$.

Ответ: $16\sqrt{11}$ см$^3$.

523. В прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, пять рёбер равны а, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объём призмы.

Рассмотрим строение прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник. Такая призма имеет 9 ребер:

• 3 боковых ребра, которые в прямой призме равны между собой. Обозначим их длину $h$. Эта величина является высотой призмы.
• 6 ребер оснований (верхнего и нижнего). Основания — это два равных прямоугольных треугольника. Пусть стороны треугольника в основании — это катеты $c_1$, $c_2$ и гипотенуза $d$. Таким образом, в призме есть два ребра длиной $c_1$, два ребра длиной $c_2$ и два ребра длиной $d$. Для сторон основания должна выполняться теорема Пифагора: $c_1^2 + c_2^2 = d^2$.

Всего у призмы есть три группы равных по длине боковых ребер (3 ребра длиной $h$) и три группы равных по длине ребер оснований (по 2 ребра длиной $c_1$, $c_2$ и $d$).

По условию задачи, пять из девяти ребер равны $a$, а остальные четыре ребра равны друг другу.

Проанализируем, как могут распределиться длины ребер. Группа из пяти одинаковых ребер может быть составлена из имеющихся групп ребер (размером 3, 2, 2, 2) только одним способом: путем объединения группы из 3 боковых ребер и одной из пар ребер основания. Это означает, что длина бокового ребра $h$ должна быть равна $a$, и длина одной из сторон основания ($c_1$, $c_2$ или $d$) также должна быть равна $a$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Пять ребер длиной $a$ — это 3 боковых ребра и 2 катета (например, катеты длиной $c_1$).

В этом случае высота призмы $h = a$ и один из катетов $c_1 = a$. Остальные четыре ребра должны быть равны между собой. Эти ребра — это вторая пара катетов (длиной $c_2$) и пара гипотенуз (длиной $d$). Следовательно, должно выполняться равенство $c_2 = d$. Проверим это по теореме Пифагора для основания: $c_1^2 + c_2^2 = d^2$. Подставив известные значения, получаем: $a^2 + c_2^2 = d^2$. Так как $c_2 = d$, уравнение принимает вид $a^2 + d^2 = d^2$, что сводится к $a^2 = 0$. Это означает, что $a=0$, что невозможно для длины ребра. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Пять ребер длиной $a$ — это 3 боковых ребра и 2 гипотенузы оснований.

В этом случае высота призмы $h = a$ и гипотенуза $d = a$. Остальные четыре ребра должны быть равны между собой. Эти ребра — две пары катетов (два ребра длиной $c_1$ и два ребра длиной $c_2$). Чтобы все четыре ребра были равны, необходимо, чтобы $c_1 = c_2$. Проверим это условие с помощью теоремы Пифагора для основания: $c_1^2 + c_2^2 = d^2$. Подставив наши значения, получаем: $c_1^2 + c_1^2 = a^2$, то есть $2c_1^2 = a^2$. Отсюда находим длину катетов: $c_1 = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Итак, основанием является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной $\frac{a}{\sqrt{2}}$ и гипотенузой $a$. Высота призмы равна $a$. Данная конфигурация полностью соответствует условию задачи.

Таким образом, мы однозначно определили параметры призмы и можем найти ее объем. Объем $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Основание — это прямоугольный треугольник с катетами $c_1 = c_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Площадь основания равна: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot c_1 \cdot c_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4}$.

Высота призмы $h = a$.

Объем призмы равен: $V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{a^3}{4}$.

Ответ: $\frac{a^3}{4}$

524. Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 3 м³, а наименьшая и наибольшая из площадей боковых граней равны 3 м² и 35 м². Найдите длины рёбер призмы.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Пусть $h$ — высота призмы, которая также является длиной боковых рёбер.

Объём призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. Так как основание — прямоугольный треугольник, его площадь равна $S_{осн} = \frac{1}{2}ab$.

По условию, объём призмы равен $3 \text{ м}^3$:
$V = \frac{1}{2}abh = 3$
Отсюда получаем первое уравнение: $abh = 6$.

Боковыми гранями прямой призмы являются прямоугольники. Их площади равны произведениям сторон основания на высоту призмы: $S_a = ah$, $S_b = bh$ и $S_c = ch$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза $c$ всегда является самой длинной стороной ($a^2+b^2=c^2$, следовательно $c>a$ и $c>b$). Поэтому площадь боковой грани, соответствующей гипотенузе, будет наибольшей. Наименьшая площадь будет соответствовать наименьшему из катетов.

По условию, наименьшая и наибольшая площади боковых граней равны $3 \text{ м}^2$ и $3\sqrt{5} \text{ м}^2$. Обозначим меньший катет как $a$. Тогда:

• Наименьшая площадь: $S_{min} = ah = 3$
• Наибольшая площадь: $S_{max} = ch = 3\sqrt{5}$

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения длин рёбер $a, b, c$ и высоты $h$:

1. $abh = 6$
2. $ah = 3$
3. $ch = 3\sqrt{5}$
4. $a^2 + b^2 = c^2$ (Теорема Пифагора для основания)

Решим эту систему.

Из уравнения (2) выразим $a = \frac{3}{h}$.
Подставим это в уравнение (1):
$(\frac{3}{h}) \cdot b \cdot h = 6$
$3b = 6$
$b = 2$ м.

Теперь выразим $a$ и $c$ через $h$ из уравнений (2) и (3):
$a = \frac{3}{h}$
$c = \frac{3\sqrt{5}}{h}$

Подставим эти выражения и значение $b=2$ в уравнение (4) (теорему Пифагора):
$(\frac{3}{h})^2 + 2^2 = (\frac{3\sqrt{5}}{h})^2$
$\frac{9}{h^2} + 4 = \frac{9 \cdot 5}{h^2}$
$\frac{9}{h^2} + 4 = \frac{45}{h^2}$

Вычтем $\frac{9}{h^2}$ из обеих частей уравнения:
$4 = \frac{45}{h^2} - \frac{9}{h^2}$
$4 = \frac{36}{h^2}$
$4h^2 = 36$
$h^2 = 9$
Так как высота $h$ должна быть положительной, $h = 3$ м.

Теперь, зная высоту $h$, найдём длины сторон основания $a$ и $c$:
$a = \frac{3}{h} = \frac{3}{3} = 1$ м.
$c = \frac{3\sqrt{5}}{h} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$ м.

Таким образом, мы нашли все искомые длины рёбер призмы:

• Длины рёбер основания (стороны треугольника): $a=1$ м, $b=2$ м, $c=\sqrt{5}$ м.
• Длина боковых рёбер (высота призмы): $h=3$ м.

Проверим, что $a=1$ является наименьшим катетом: $1 < 2$, что соответствует нашему предположению.

Ответ: Длины рёбер основания призмы равны $1$ м, $2$ м и $\sqrt{5}$ м. Длины боковых рёбер призмы равны $3$ м.

525. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна d и составляет угол φ с плоскостью другой боковой грани. Найдите объём призмы.

Обозначим нашу правильную треугольную призму как $ABCA_1B_1C_1$. Основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — это правильные треугольники, а боковые грани $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CAA_1C_1$ — равные прямоугольники.

Пусть сторона основания призмы равна $a$ (то есть $AB=BC=AC=a$), а высота призмы равна $h$ (то есть $AA_1=h$).

Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$ и её диагональ $A_1B$. По условию, её длина равна $d$, то есть $A_1B = d$. Треугольник $A_1AB$ является прямоугольным с прямым углом $A$, так как призма прямая. По теореме Пифагора имеем:
$A_1B^2 = AB^2 + AA_1^2$
$d^2 = a^2 + h^2$ (1)

По условию, диагональ $A_1B$ составляет угол $\phi$ с плоскостью другой боковой грани, например, с плоскостью $(CAA_1C_1)$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию отрезка $A_1B$ на плоскость $(CAA_1C_1)$.

Точка $A_1$ уже лежит в плоскости $(CAA_1C_1)$, поэтому её проекция — это сама точка $A_1$. Чтобы найти проекцию точки $B$, опустим из неё перпендикуляр на плоскость $(CAA_1C_1)$. Проведём в основании $ABC$ высоту $BM$ к стороне $AC$. Поскольку призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $BM$. Итак, $BM \perp AA_1$. Также, по построению $BM \perp AC$. Так как прямая $BM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AA_1$ и $AC$) в плоскости $(CAA_1C_1)$, то она перпендикулярна всей этой плоскости. Следовательно, точка $M$ является ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость $(CAA_1C_1)$.

Таким образом, отрезок $A_1M$ является проекцией диагонали $A_1B$ на плоскость $(CAA_1C_1)$. Угол между наклонной $A_1B$ и её проекцией $A_1M$ и есть заданный угол $\phi$, то есть $\angle BA_1M = \phi$.

Рассмотрим треугольник $A_1MB$. Так как $BM \perp (CAA_1C_1)$, то $BM \perp A_1M$. Следовательно, треугольник $A_1MB$ — прямоугольный с прямым углом $M$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle BA_1M) = \frac{BM}{A_1B}$
$\sin \phi = \frac{BM}{d}$
Отсюда находим длину высоты основания $BM$:
$BM = d \sin \phi$

С другой стороны, $BM$ — это высота в правильном треугольнике $ABC$ со стороной $a$. Её длина вычисляется по формуле:
$BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Приравнивая два полученных выражения для $BM$, получаем:
$\frac{a\sqrt{3}}{2} = d \sin \phi$
Выразим отсюда сторону основания $a$:
$a = \frac{2d \sin \phi}{\sqrt{3}}$

Теперь найдём высоту призмы $h$ из соотношения (1):
$h^2 = d^2 - a^2 = d^2 - \left(\frac{2d \sin \phi}{\sqrt{3}}\right)^2 = d^2 - \frac{4d^2 \sin^2{\phi}}{3}$
$h^2 = d^2 \left(1 - \frac{4 \sin^2{\phi}}{3}\right) = d^2 \frac{3 - 4 \sin^2{\phi}}{3}$
$h = \sqrt{d^2 \frac{3 - 4 \sin^2{\phi}}{3}} = \frac{d\sqrt{3 - 4 \sin^2{\phi}}}{\sqrt{3}}$

Объём призмы $V$ равен произведению площади её основания $S_{осн}$ на высоту $h$:
$V = S_{осн} \cdot h$
Площадь основания (правильного треугольника со стороной $a$):
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим найденное выражение для $a^2 = \frac{4d^2 \sin^2{\phi}}{3}$:
$S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4d^2 \sin^2{\phi}}{3} = \frac{d^2 \sqrt{3} \sin^2{\phi}}{3}$

Наконец, вычислим объём:
$V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{d^2 \sqrt{3} \sin^2{\phi}}{3}\right) \cdot \left(\frac{d\sqrt{3 - 4 \sin^2{\phi}}}{\sqrt{3}}\right)$
Сократив $\sqrt{3}$, получаем:
$V = \frac{d^3 \sin^2{\phi} \sqrt{3 - 4 \sin^2{\phi}}}{3}$

Ответ: $V = \frac{d^3 \sin^2{\phi} \sqrt{3 - 4 \sin^2{\phi}}}{3}$.

526. Докажите, что объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

Доказательство

Рассмотрим произвольную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Обозначим её объём как $V$. Боковые грани призмы — это параллелограммы $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $CAA_1C_1$. Боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны. Обозначим длину бокового ребра через $L$.

Выберем одну из боковых граней, например, грань, содержащую рёбра $A_1A$ и $B_1B$. Обозначим её площадь как $S_{бок} = S_{ABB_1A_1}$. Третье боковое ребро $CC_1$ параллельно этой грани, так как ребро $CC_1$ параллельно ребру $BB_1$, а ребро $BB_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.

Обозначим через $d$ расстояние от ребра $CC_1$ до плоскости грани $ABB_1A_1$. Поскольку ребро параллельно плоскости, это расстояние постоянно и равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки ребра $CC_1$ на плоскость $(ABB_1A_1)$.

Требуется доказать, что объём призмы вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{2} S_{бок} \cdot d$.

Объём любой призмы (как прямой, так и наклонной) можно вычислить по формуле: $V = S_{\perp} \cdot L$ где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы, а $L$ — длина бокового ребра.

Построим перпендикулярное сечение призмы — треугольник $A'B'C'$, плоскость которого перпендикулярна боковым рёбрам. Вершины этого треугольника лежат на рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ соответственно. Тогда объём призмы равен $V = S_{A'B'C'} \cdot L$.

Площадь треугольника $A'B'C'$ выражается через длину его стороны и высоту, проведённую к этой стороне: $S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} |A'B'| \cdot h_{C'}$ где $h_{C'}$ — длина высоты, опущенной из вершины $C'$ на сторону $A'B'$.

Теперь рассмотрим площадь боковой грани $S_{бок} = S_{ABB_1A_1}$. Грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. Её площадь равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней. Выберем в качестве стороны боковое ребро $AA_1$ (его длина $L$). Высотой к этой стороне является расстояние между параллельными прямыми $AA_1$ и $BB_1$. Так как плоскость сечения $A'B'C'$ по определению перпендикулярна боковым рёбрам, то отрезок $A'B'$ перпендикулярен и $AA_1$, и $BB_1$. Следовательно, длина отрезка $|A'B'|$ равна расстоянию между рёбрами $AA_1$ и $BB_1$. Таким образом, площадь боковой грани: $S_{бок} = |AA_1| \cdot |A'B'| = L \cdot |A'B'|$.

Далее необходимо установить связь между высотой $h_{C'}$ перпендикулярного сечения и заданным расстоянием $d$. Пусть $H$ — основание высоты, опущенной из точки $C'$ на прямую $A'B'$. Тогда $h_{C'} = |C'H|$. По определению высоты, отрезок $C'H$ перпендикулярен прямой $A'B'$, то есть $C'H \perp A'B'$. Расстояние $d$ от ребра $CC_1$ до плоскости $ABB_1A_1$ равно расстоянию от любой точки на ребре $CC_1$, например $C'$, до этой плоскости. Докажем, что отрезок $C'H$ является перпендикуляром к плоскости $ABB_1A_1$.

Для этого нужно показать, что $C'H$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в этой плоскости. 1. Мы уже знаем, что $C'H \perp A'B'$ по построению. 2. По определению перпендикулярного сечения, плоскость $A'B'C'$ перпендикулярна боковому ребру $AA_1$. Это означает, что любая прямая, лежащая в плоскости $A'B'C'$, перпендикулярна прямой $AA_1$. Так как $C'H$ лежит в плоскости $A'B'C'$, то $C'H \perp AA_1$. 3. Прямые $A'B'$ и $AA_1$ обе лежат в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$ и пересекаются в точке $A'$.

Поскольку прямая $C'H$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A'B'$ и $AA_1$) в плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, длина высоты $h_{C'} = |C'H|$ и есть расстояние от точки $C'$ до плоскости $ABB_1A_1$, то есть $h_{C'} = d$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для объёма призмы: $V = S_{A'B'C'} \cdot L = \left( \frac{1}{2} |A'B'| \cdot h_{C'} \right) \cdot L$

Заменим $h_{C'}$ на $d$ и перегруппируем множители: $V = \frac{1}{2} (L \cdot |A'B'|) \cdot d$

Ранее мы установили, что $S_{бок} = L \cdot |A'B'|$. Подставив это в выражение для объёма, получаем: $V = \frac{1}{2} S_{бок} \cdot d$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра, что выражается формулой $V = \frac{1}{2} S_{бок} \cdot d$.

527. На трёх данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка АА₁, ВВ₁ и СС₁. Докажите, что объём призмы, боковыми рёбрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.

Обозначим три данные параллельные прямые как $l_A, l_B, l_C$. Пусть точки $A, A_1$ лежат на $l_A$; $B, B_1$ — на $l_B$; $C, C_1$ — на $l_C$. Отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ являются боковыми ребрами призмы $ABCA_1B_1C_1$. По определению призмы, ее боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим ребрам, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Обозначим этот общий вектор бокового ребра как $\vec{L}$.

Объем $V$ треугольной призмы может быть вычислен как половина модуля смешанного произведения векторов, образующих ребра, исходящие из одной вершины. Для призмы $ABCA_1B_1C_1$ с основанием $ABC$ и боковым ребром $AA_1$ объем равен:

$V = \frac{1}{2} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AA_1}| = \frac{1}{2} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L}|$

Теперь рассмотрим, как изменится объем, если сдвинуть отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$ вдоль их прямых. Пусть $\vec{u}$ — единичный направляющий вектор параллельных прямых $l_A, l_B, l_C$. Так как отрезок $AA_1$ лежит на прямой $l_A$, вектор бокового ребра $\vec{L} = \vec{AA_1}$ коллинеарен вектору $\vec{u}$.

Смещение отрезков означает, что их начальные точки $A, B, C$ перемещаются в новые положения $A', B', C'$ вдоль своих прямых. Это можно представить в виде векторов смещения: $\vec{AA'} = t_A \vec{u}$, $\vec{BB'} = t_B \vec{u}$, $\vec{CC'} = t_C \vec{u}$, где $t_A, t_B, t_C$ — некоторые скалярные величины, соответствующие длинам смещения. Новые вершины основания призмы — это $A', B', C'$. Поскольку длина и направление боковых ребер не меняются, вектор бокового ребра для новой призмы остается прежним: $\vec{A'A'_1} = \vec{L}$.

Найдем векторы, образующие основание новой призмы $A'B'C'$:

$\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'} = (\vec{OA} + t_A \vec{u}) - (\vec{OB} + t_B \vec{u}) = (\vec{OB} - \vec{OA}) + (t_B - t_A)\vec{u} = \vec{AB} + (t_B - t_A)\vec{u}$

$\vec{A'C'} = \vec{OC'} - \vec{OA'} = (\vec{OA} + t_A \vec{u}) - (\vec{OC} + t_C \vec{u}) = (\vec{OC} - \vec{OA}) + (t_C - t_A)\vec{u} = \vec{AC} + (t_C - t_A)\vec{u}$

Объем новой призмы $V'$ равен:

$V' = \frac{1}{2} |(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L}|$

Подставим выражения для $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$ в формулу для смешанного произведения:

$(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L} = ((\vec{AB} + (t_B - t_A)\vec{u}) \times (\vec{AC} + (t_C - t_A)\vec{u})) \cdot \vec{L}$

Используя свойство дистрибутивности векторного и скалярного произведений (линейность смешанного произведения), раскроем скобки:

$(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L} + (\vec{AB} \times (t_C - t_A)\vec{u}) \cdot \vec{L} + ((t_B - t_A)\vec{u} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L} + ((t_B - t_A)\vec{u} \times (t_C - t_A)\vec{u}) \cdot \vec{L}$

Рассмотрим слагаемые в этом выражении. Второе, третье и четвертое слагаемые содержат смешанное произведение трех векторов, два из которых ($\vec{u}$ и $\vec{L}$) коллинеарны. Смешанное произведение трех векторов, среди которых есть два коллинеарных, равно нулю, так как такие три вектора всегда лежат в одной плоскости (компланарны).

Таким образом, все эти три слагаемых равны нулю. Например, для второго слагаемого: $(t_C - t_A)(\vec{AB} \times \vec{u}) \cdot \vec{L} = 0$, так как векторы $\vec{u}$ и $\vec{L}$ параллельны.

В результате мы получаем:

$(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L} = (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L}$

Это означает, что модуль смешанного произведения не изменился. Следовательно, объем призмы остался прежним:

$V' = \frac{1}{2} |(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L}| = \frac{1}{2} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L}| = V$

Мы доказали, что объем призмы не зависит от положения отрезков $AA_1, BB_1, CC_1$ на данных параллельных прямых. Что и требовалось доказать.

Ответ: Объем призмы не зависит от положения ее боковых ребер на данных параллельных прямых. Это следует из того, что величина смешанного произведения векторов, определяющих объем призмы, инвариантна относительно сдвига вершин оснований вдоль этих прямых. Математически, $(\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}) \cdot \vec{L} = (\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{L}$, где $A'B'C'$ — новое основание, а $L$ — вектор бокового ребра.

528. Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам 20, 37, 51. Боковое ребро равно 0,5 дм, а площадь боковой поверхности равна 10,8 дм². Найдите объём призмы.

Для решения задачи нам понадобится формула объема наклонной призмы: $V = S_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы (сечения, перпендикулярного боковым ребрам).

1. Нахождение площадей боковых граней

Пусть площади боковых граней равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. По условию, они пропорциональны числам 20, 37 и 51. Это можно записать как:

$S_1 = 20k$, $S_2 = 37k$, $S_3 = 51k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней:

$S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 20k + 37k + 51k = 108k$

Нам известно, что $S_{бок} = 10,8$ дм?. Приравняем и найдем $k$:

$108k = 10,8$

$k = \frac{10,8}{108} = 0,1$

Теперь можем найти площади каждой грани:

$S_1 = 20 \cdot 0,1 = 2$ дм?

$S_2 = 37 \cdot 0,1 = 3,7$ дм?

$S_3 = 51 \cdot 0,1 = 5,1$ дм?

2. Нахождение сторон перпендикулярного сечения

Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами. Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. В нашем случае, площадь каждой боковой грани $S_i$ равна произведению длины бокового ребра $l$ на соответствующую высоту $h_i$, проведенную к этому ребру. Эти высоты $h_i$ как раз и являются сторонами перпендикулярного сечения.

Пусть стороны перпендикулярного сечения равны $a, b, c$. Тогда:

$a = \frac{S_1}{l}$, $b = \frac{S_2}{l}$, $c = \frac{S_3}{l}$

Подставим известные значения $l = 0,5$ дм и найденные площади:

$a = \frac{2}{0,5} = 4$ дм

$b = \frac{3,7}{0,5} = 7,4$ дм

$c = \frac{5,1}{0,5} = 10,2$ дм

Таким образом, перпендикулярное сечение — это треугольник со сторонами 4 дм, 7,4 дм и 10,2 дм.

3. Нахождение площади перпендикулярного сечения ($S_{перп}$)

Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4 + 7,4 + 10,2}{2} = \frac{21,6}{2} = 10,8$ дм

Теперь подставим все значения в формулу Герона:

$S_{перп} = \sqrt{10,8 \cdot (10,8 - 4) \cdot (10,8 - 7,4) \cdot (10,8 - 10,2)}$

$S_{перп} = \sqrt{10,8 \cdot 6,8 \cdot 3,4 \cdot 0,6}$

$S_{перп} = \sqrt{149,8176} = 12,24$ дм?

4. Нахождение объема призмы

Теперь, имея площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, мы можем найти объем призмы.

$V = S_{перп} \cdot l$

$V = 12,24 \cdot 0,5 = 6,12$ дм?

Ответ: 6,12 дм?.

529. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол φ, а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии m от неё.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$. Обозначим сторону основания через $a$, а высоту пирамиды $SO$ через $H$, где $O$ — центр основания.

1. Анализ условия и построение.
По условию, боковая грань составляет с плоскостью основания угол $\phi$. Возьмем боковую грань $SBC$. Угол между плоскостью $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол при ребре $BC$.
Для измерения этого угла проведем апофему боковой грани $SK$ (где $K$ — середина $BC$) и медиану (она же высота и биссектриса) основания $AK$. Так как пирамида правильная, $SO \perp (ABC)$, а значит $SO \perp AK$ и $SO \perp OK$.
Линейным углом двугранного угла является угол $\angle SKO = \phi$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle SOK$: $H = SO = OK \cdot \tan\phi$.
$OK$ — это радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота $AK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, а радиус вписанной окружности $OK = \frac{1}{3} AK = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Таким образом, получаем первую зависимость: $H = \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan\phi$.

2. Использование расстояния от вершины основания до боковой грани.
Второе условие гласит, что вершина основания, не лежащая в грани $SBC$ (это вершина $A$), находится на расстоянии $m$ от плоскости $(SBC)$.
Рассмотрим плоскость $(SAK)$. Так как $BC \perp AK$ и $BC \perp SK$ (по теореме о трех перпендикулярах, т.к. $SO$ - перпендикуляр, $SK$ - наклонная, $OK$ - проекция, и $OK \perp BC$), то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(SAK)$.
Поскольку плоскость $(SBC)$ проходит через прямую $BC$, перпендикулярную плоскости $(SAK)$, то плоскость $(SBC)$ перпендикулярна плоскости $(SAK)$.
Линия пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей — прямая $SK$.
Расстояние от точки $A$, лежащей в плоскости $(SAK)$, до плоскости $(SBC)$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на линию их пересечения $SK$.
Пусть $AH'$ — перпендикуляр из $A$ на $SK$ в треугольнике $SAK$. Тогда по условию $AH' = m$.

3. Нахождение высоты и стороны основания.
Площадь треугольника $SAK$ можно выразить двумя способами: $S_{\triangle SAK} = \frac{1}{2} AK \cdot SO = \frac{1}{2} SK \cdot AH'$.
Подставим известные величины: $SO = H$, $AH' = m$. $AK \cdot H = SK \cdot m$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle SOK$: $SK = \frac{OK}{\cos\phi}$.
Высота основания $AK = 3 \cdot OK$.
Подставляем эти соотношения в равенство: $(3 \cdot OK) \cdot H = \left(\frac{OK}{\cos\phi}\right) \cdot m$.
Сокращаем на $OK$ (которое не равно нулю): $3H = \frac{m}{\cos\phi}$, откуда находим высоту пирамиды: $H = \frac{m}{3\cos\phi}$.
Теперь найдем сторону основания $a$. Приравняем два выражения для $H$: $\frac{a\sqrt{3}}{6} \tan\phi = \frac{m}{3\cos\phi}$.
$\frac{a\sqrt{3}}{6} \frac{\sin\phi}{\cos\phi} = \frac{m}{3\cos\phi}$.
$\frac{a\sqrt{3}}{6} \sin\phi = \frac{m}{3}$.
$a\sqrt{3}\sin\phi = 2m$, откуда $a = \frac{2m}{\sqrt{3}\sin\phi} = \frac{2\sqrt{3}m}{3\sin\phi}$.

4. Вычисление объёма пирамиды.
Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot H$.
Площадь основания (равностороннего треугольника): $S_{base} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставим найденное выражение для $a$: $S_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{2\sqrt{3}m}{3\sin\phi}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot m^2}{9\sin^2\phi} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4m^2}{3\sin^2\phi} = \frac{\sqrt{3}m^2}{3\sin^2\phi}$.
Теперь подставим $S_{base}$ и $H$ в формулу объёма: $V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}m^2}{3\sin^2\phi}\right) \cdot \left(\frac{m}{3\cos\phi}\right)$.
$V = \frac{\sqrt{3}m^3}{27\sin^2\phi\cos\phi}$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}m^3}{27\sin^2\phi\cos\phi}$.

530. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с основанием угол φ, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное m. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадрат в основании, а $S$ – вершина пирамиды. Пусть $O$ – центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Тогда $SO$ – высота пирамиды, обозначим её $H$.

Боковое ребро, например $SA$, составляет с плоскостью основания угол $\phi$. Этот угол равен углу между ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания, которой является отрезок $OA$. Таким образом, $\angle SAO = \phi$.

Пусть $M$ – середина бокового ребра $SA$. Расстояние от точки $M$ до плоскости основания – это длина перпендикуляра $MK$, опущенного из точки $M$ на плоскость основания. По условию, $MK = m$.

Нахождение высоты пирамиды $H$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Высота пирамиды $SO = H$.Перпендикуляр $MK$ из точки $M$ на плоскость основания будет параллелен высоте $SO$, так как они оба перпендикулярны одной и той же плоскости.Поскольку $MK \parallel SO$ и точка $M$ является серединой стороны $SA$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) отрезок $MK$ является средней линией треугольника $\triangle SOA$.Следовательно, его длина равна половине длины стороны $SO$:$MK = \frac{1}{2} SO$Подставляя известные значения, получаем:$m = \frac{1}{2} H$Отсюда находим высоту пирамиды:$H = 2m$

Нахождение площади основания $S_{осн}$

Основанием пирамиды является квадрат $ABCD$. Обозначим сторону квадрата как $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$.Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2}$. Отрезок $OA$ является половиной диагонали:$OA = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ тангенс угла $\phi$ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему:$\tan\phi = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{OA}$Подставим найденное значение $H = 2m$ и выражение для $OA$:$\tan\phi = \frac{2m}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{4m}{a\sqrt{2}}$Выразим из этого уравнения сторону квадрата $a$:$a = \frac{4m}{\sqrt{2}\tan\phi} = \frac{2\sqrt{2}m}{\tan\phi} = 2\sqrt{2}m\cot\phi$Теперь найдём площадь основания:$S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{2}m\cot\phi)^2 = 4 \cdot 2 \cdot m^2 \cdot \cot^2\phi = 8m^2\cot^2\phi$

Нахождение объёма пирамиды $V$

Объём пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$Подставим найденные значения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$:$V = \frac{1}{3} \cdot (8m^2\cot^2\phi) \cdot (2m)$$V = \frac{16m^3\cot^2\phi}{3}$

Ответ: $\frac{16m^3\cot^2\phi}{3}$

531. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен 2φ. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $S$ — вершина, а $ABC$ — основание. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот). Тогда $SO$ — высота пирамиды, и по условию $SO = h$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ где $S_{осн}$ — площадь основания.

Чтобы найти объём, нам необходимо выразить площадь основания через известные величины $h$ и $?$. Пусть сторона основания $AB = BC = AC = a$. Тогда площадь основания равна: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Рассмотрим двугранный угол при боковом ребре, например, при ребре $SB$. Этот угол образован гранями $ASB$ и $CSB$. По условию, его величина равна $2?$.

Для измерения этого двугранного угла построим его линейный угол. Проведём в плоскости грани $ASB$ высоту $AK$ к ребру $SB$ ($AK \perp SB$). Так как пирамида правильная, боковые грани $ASB$ и $CSB$ являются равными равнобедренными треугольниками. Следовательно, высота $CK$ в треугольнике $CSB$, проведённая к стороне $SB$, также попадёт в точку $K$. Таким образом, $CK \perp SB$.

Угол $?AKC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $SB$, поэтому $?AKC = 2?$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. Он равнобедренный, так как $AK = CK$ (как высоты в равных треугольниках). $AC = a$ — основание этого треугольника. Проведём медиану $KM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой. Значит, $KM \perp AC$, $M$ — середина $AC$, и $?AKM = \frac{1}{2} ?AKC = ?$.

В прямоугольном треугольнике $AKM$ катет $AM = \frac{a}{2}$. Мы можем выразить $AK$: $AM = AK \cdot \sin(?AKM)$ $\frac{a}{2} = AK \cdot \sin(?) \implies AK = \frac{a}{2 \sin(?)}$

Теперь найдём связь между стороной основания $a$ и высотой пирамиды $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. $SO = h$. $OA$ — радиус окружности, описанной около основания $ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R = OA = \frac{a}{\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора для $\triangle SOA$: $SA^2 = SO^2 + OA^2 = h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{3}$ $SA$ — это боковое ребро пирамиды. Обозначим его длину $l$. Итак, $l^2 = h^2 + \frac{a^2}{3}$.

Теперь рассмотрим боковую грань, треугольник $ASB$. Его площадь можно вычислить двумя способами: 1. $S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot AK = \frac{1}{2} l \cdot AK$ 2. Пусть $D$ — середина стороны основания $AB$. Тогда $SD$ — апофема боковой грани. $S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SD = \frac{1}{2} a \cdot SD$. Приравняем эти выражения: $l \cdot AK = a \cdot SD$.

Найдём длину апофемы $SD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOD$. $SO=h$. $OD$ — радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника $r = OD = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. По теореме Пифагора для $\triangle SOD$: $SD^2 = SO^2 + OD^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{12}$ $SD = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

Подставим все найденные выражения в равенство $l \cdot AK = a \cdot SD$: $\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{3}} \cdot \frac{a}{2 \sin(?)} = a \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

Сократим на $a$ (так как $a \neq 0$) и возведём обе части в квадрат: $\left(h^2 + \frac{a^2}{3}\right) \cdot \frac{1}{4 \sin^2(?)} = h^2 + \frac{a^2}{12}$ $h^2 + \frac{a^2}{3} = 4 \sin^2(?) \left(h^2 + \frac{a^2}{12}\right)$ $h^2 + \frac{a^2}{3} = 4h^2 \sin^2(?) + \frac{4a^2 \sin^2(?)}{12}$ $h^2 + \frac{a^2}{3} = 4h^2 \sin^2(?) + \frac{a^2 \sin^2(?)}{3}$

Сгруппируем слагаемые с $a^2$ и с $h^2$: $\frac{a^2}{3} - \frac{a^2 \sin^2(?)}{3} = 4h^2 \sin^2(?) - h^2$ $\frac{a^2}{3} (1 - \sin^2(?)) = h^2 (4 \sin^2(?) - 1)$ $\frac{a^2}{3} \cos^2(?) = h^2 (4 \sin^2(?) - 1)$

Выразим $a^2$: $a^2 = \frac{3h^2 (4 \sin^2(?) - 1)}{\cos^2(?)}$

Теперь можем найти площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3h^2 (4 \sin^2(?) - 1)}{\cos^2(?)} = \frac{3\sqrt{3} h^2 (4 \sin^2(?) - 1)}{4\cos^2(?)}$

И, наконец, объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3} h^2 (4 \sin^2(?) - 1)}{4\cos^2(?)} \cdot h$ $V = \frac{\sqrt{3} h^3 (4 \sin^2(?) - 1)}{4\cos^2(?)}$

Это выражение можно упростить, разделив числитель и знаменатель почленно: $\frac{4 \sin^2(?) - 1}{\cos^2(?)} = 4 \frac{\sin^2(?)}{\cos^2(?)} - \frac{1}{\cos^2(?)} = 4\tan^2(?) - \sec^2(?)$ Используя тождество $\sec^2(?) = 1 + \tan^2(?)$, получаем: $4\tan^2(?) - (1 + \tan^2(?)) = 3\tan^2(?) - 1$

Подставим это в формулу для объёма: $V = \frac{\sqrt{3} h^3}{4} (3\tan^2(?) - 1)$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3} h^3}{4} (3\tan^2(?) - 1)$

532. В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен α, а сторона основания равна а. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Для нахождения объёма данной пирамиды нам необходимо выразить $S_{осн}$ и $H$ через заданные параметры $n$, $a$ и $\alpha$.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

В основании пирамиды лежит правильный $n$-угольник со стороной $a$. Площадь правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{n a^2}{4} \cot(\frac{\pi}{n})$

Здесь $\frac{\pi}{n}$ — это половина центрального угла, опирающегося на сторону основания.

2. Нахождение высоты пирамиды ($H$)

Высоту пирамиды $H$ удобно найти, используя апофему пирамиды (высоту боковой грани) $h_a$ и апофему основания (радиус вписанной в основание окружности) $r$.

Сначала найдём апофему пирамиды $h_a$. Боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом при вершине $\alpha$. Апофема $h_a$ является высотой этого треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и боковым ребром. Угол при вершине этого прямоугольного треугольника равен $\frac{\alpha}{2}$. Тогда:

$\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h_a}{a/2}$

Отсюда выражаем апофему:

$h_a = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь найдём апофему основания $r$. Для правильного $n$-угольника со стороной $a$ апофема равна:

$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{a}{2} \cot(\frac{\pi}{n})$

Высота пирамиды $H$, апофема основания $r$ и апофема пирамиды $h_a$ образуют прямоугольный треугольник, где $h_a$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$H^2 + r^2 = h_a^2$

Выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{h_a^2 - r^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2} \cot\frac{\alpha}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2} \cot\frac{\pi}{n}\right)^2}$

$H = \frac{a}{2} \sqrt{\cot^2(\frac{\alpha}{2}) - \cot^2(\frac{\pi}{n})}$

Отметим, что для существования такой пирамиды необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным, что приводит к условию $\alpha < \frac{2\pi}{n}$.

3. Вычисление объёма пирамиды ($V$)

Теперь подставим найденные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{n a^2}{4} \cot(\frac{\pi}{n})\right) \cdot \left(\frac{a}{2} \sqrt{\cot^2(\frac{\alpha}{2}) - \cot^2(\frac{\pi}{n})}\right)$

После перемножения коэффициентов получаем окончательное выражение для объёма:

$V = \frac{n a^3 \cot(\frac{\pi}{n})}{24} \sqrt{\cot^2(\frac{\alpha}{2}) - \cot^2(\frac{\pi}{n})}$

Ответ: $V = \frac{n a^3 \cot(\frac{\pi}{n})}{24} \sqrt{\cot^2(\frac{\alpha}{2}) - \cot^2(\frac{\pi}{n})}$.

533. Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны φ₁ и φ₂. Высота пирамиды равна h, а каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ₃. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. По условию, высота пирамиды $H = h$. Таким образом, задача сводится к нахождению площади основания $S_{осн}$.

Поскольку каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания один и тот же угол $\phi_3$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника, лежащего в основании. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания (которая является радиусом $R$ описанной окружности). Угол между боковым ребром (гипотенузой) и его проекцией (катетом $R$) равен $\phi_3$. Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\text{ctg}(\phi_3) = \frac{R}{h}$Отсюда выразим радиус описанной окружности:$R = h \cdot \text{ctg}(\phi_3)$

Теперь найдем площадь основания. В основании лежит треугольник, два угла которого по условию равны $\phi_1$ и $\phi_2$. Третий угол этого треугольника будет равен $\pi - (\phi_1 + \phi_2)$.Площадь треугольника можно вычислить по формуле, связывающей её с радиусом описанной окружности $R$ и углами треугольника $A$, $B$, $C$:$S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$

Подставим в эту формулу наши данные. Углы треугольника в основании: $A = \phi_1$, $B = \phi_2$, $C = \pi - (\phi_1 + \phi_2)$. Поскольку $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, то $\sin(\pi - (\phi_1 + \phi_2)) = \sin(\phi_1 + \phi_2)$.Площадь основания $S_{осн}$ равна:$S_{осн} = 2R^2 \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2)$Теперь подставим найденное ранее выражение для $R$:$S_{осн} = 2(h \cdot \text{ctg}(\phi_3))^2 \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2) = 2h^2 \text{ctg}^2(\phi_3) \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2)$

Наконец, вычислим объём пирамиды, подставив найденную площадь основания $S_{осн}$ и высоту $h$ в исходную формулу для объёма:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \left( 2h^2 \text{ctg}^2(\phi_3) \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2) \right) \cdot h$$V = \frac{2}{3} h^3 \text{ctg}^2(\phi_3) \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2)$
Ответ: $V = \frac{2}{3} h^3 \text{ctg}^2(\phi_3) \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2)$.