Номер 530, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

530. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с основанием угол φ, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное m. Найдите объём пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадрат в основании, а $S$ – вершина пирамиды. Пусть $O$ – центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Тогда $SO$ – высота пирамиды, обозначим её $H$.

Боковое ребро, например $SA$, составляет с плоскостью основания угол $\phi$. Этот угол равен углу между ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания, которой является отрезок $OA$. Таким образом, $\angle SAO = \phi$.

Пусть $M$ – середина бокового ребра $SA$. Расстояние от точки $M$ до плоскости основания – это длина перпендикуляра $MK$, опущенного из точки $M$ на плоскость основания. По условию, $MK = m$.

Нахождение высоты пирамиды $H$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Высота пирамиды $SO = H$.Перпендикуляр $MK$ из точки $M$ на плоскость основания будет параллелен высоте $SO$, так как они оба перпендикулярны одной и той же плоскости.Поскольку $MK \parallel SO$ и точка $M$ является серединой стороны $SA$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) отрезок $MK$ является средней линией треугольника $\triangle SOA$.Следовательно, его длина равна половине длины стороны $SO$:$MK = \frac{1}{2} SO$Подставляя известные значения, получаем:$m = \frac{1}{2} H$Отсюда находим высоту пирамиды:$H = 2m$

Нахождение площади основания $S_{осн}$

Основанием пирамиды является квадрат $ABCD$. Обозначим сторону квадрата как $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$.Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2}$. Отрезок $OA$ является половиной диагонали:$OA = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ тангенс угла $\phi$ определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему:$\tan\phi = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{OA}$Подставим найденное значение $H = 2m$ и выражение для $OA$:$\tan\phi = \frac{2m}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{4m}{a\sqrt{2}}$Выразим из этого уравнения сторону квадрата $a$:$a = \frac{4m}{\sqrt{2}\tan\phi} = \frac{2\sqrt{2}m}{\tan\phi} = 2\sqrt{2}m\cot\phi$Теперь найдём площадь основания:$S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{2}m\cot\phi)^2 = 4 \cdot 2 \cdot m^2 \cdot \cot^2\phi = 8m^2\cot^2\phi$

Нахождение объёма пирамиды $V$

Объём пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$Подставим найденные значения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$:$V = \frac{1}{3} \cdot (8m^2\cot^2\phi) \cdot (2m)$$V = \frac{16m^3\cot^2\phi}{3}$

Ответ: $\frac{16m^3\cot^2\phi}{3}$