Номер 533, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

533. Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны φ₁ и φ₂. Высота пирамиды равна h, а каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ₃. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. По условию, высота пирамиды $H = h$. Таким образом, задача сводится к нахождению площади основания $S_{осн}$.

Поскольку каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания один и тот же угол $\phi_3$, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника, лежащего в основании. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания (которая является радиусом $R$ описанной окружности). Угол между боковым ребром (гипотенузой) и его проекцией (катетом $R$) равен $\phi_3$. Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\text{ctg}(\phi_3) = \frac{R}{h}$Отсюда выразим радиус описанной окружности:$R = h \cdot \text{ctg}(\phi_3)$

Теперь найдем площадь основания. В основании лежит треугольник, два угла которого по условию равны $\phi_1$ и $\phi_2$. Третий угол этого треугольника будет равен $\pi - (\phi_1 + \phi_2)$.Площадь треугольника можно вычислить по формуле, связывающей её с радиусом описанной окружности $R$ и углами треугольника $A$, $B$, $C$:$S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$

Подставим в эту формулу наши данные. Углы треугольника в основании: $A = \phi_1$, $B = \phi_2$, $C = \pi - (\phi_1 + \phi_2)$. Поскольку $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$, то $\sin(\pi - (\phi_1 + \phi_2)) = \sin(\phi_1 + \phi_2)$.Площадь основания $S_{осн}$ равна:$S_{осн} = 2R^2 \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2)$Теперь подставим найденное ранее выражение для $R$:$S_{осн} = 2(h \cdot \text{ctg}(\phi_3))^2 \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2) = 2h^2 \text{ctg}^2(\phi_3) \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2)$

Наконец, вычислим объём пирамиды, подставив найденную площадь основания $S_{осн}$ и высоту $h$ в исходную формулу для объёма:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \left( 2h^2 \text{ctg}^2(\phi_3) \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2) \right) \cdot h$$V = \frac{2}{3} h^3 \text{ctg}^2(\phi_3) \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2)$
Ответ: $V = \frac{2}{3} h^3 \text{ctg}^2(\phi_3) \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \sin(\phi_1 + \phi_2)$.