Номер 528, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

528. Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам 20, 37, 51. Боковое ребро равно 0,5 дм, а площадь боковой поверхности равна 10,8 дм². Найдите объём призмы.

Для решения задачи нам понадобится формула объема наклонной призмы: $V = S_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы (сечения, перпендикулярного боковым ребрам).

1. Нахождение площадей боковых граней

Пусть площади боковых граней равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. По условию, они пропорциональны числам 20, 37 и 51. Это можно записать как:

$S_1 = 20k$, $S_2 = 37k$, $S_3 = 51k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней:

$S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 20k + 37k + 51k = 108k$

Нам известно, что $S_{бок} = 10,8$ дм?. Приравняем и найдем $k$:

$108k = 10,8$

$k = \frac{10,8}{108} = 0,1$

Теперь можем найти площади каждой грани:

$S_1 = 20 \cdot 0,1 = 2$ дм?

$S_2 = 37 \cdot 0,1 = 3,7$ дм?

$S_3 = 51 \cdot 0,1 = 5,1$ дм?

2. Нахождение сторон перпендикулярного сечения

Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами. Площадь параллелограмма можно найти как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. В нашем случае, площадь каждой боковой грани $S_i$ равна произведению длины бокового ребра $l$ на соответствующую высоту $h_i$, проведенную к этому ребру. Эти высоты $h_i$ как раз и являются сторонами перпендикулярного сечения.

Пусть стороны перпендикулярного сечения равны $a, b, c$. Тогда:

$a = \frac{S_1}{l}$, $b = \frac{S_2}{l}$, $c = \frac{S_3}{l}$

Подставим известные значения $l = 0,5$ дм и найденные площади:

$a = \frac{2}{0,5} = 4$ дм

$b = \frac{3,7}{0,5} = 7,4$ дм

$c = \frac{5,1}{0,5} = 10,2$ дм

Таким образом, перпендикулярное сечение — это треугольник со сторонами 4 дм, 7,4 дм и 10,2 дм.

3. Нахождение площади перпендикулярного сечения ($S_{перп}$)

Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4 + 7,4 + 10,2}{2} = \frac{21,6}{2} = 10,8$ дм

Теперь подставим все значения в формулу Герона:

$S_{перп} = \sqrt{10,8 \cdot (10,8 - 4) \cdot (10,8 - 7,4) \cdot (10,8 - 10,2)}$

$S_{перп} = \sqrt{10,8 \cdot 6,8 \cdot 3,4 \cdot 0,6}$

$S_{перп} = \sqrt{149,8176} = 12,24$ дм?

4. Нахождение объема призмы

Теперь, имея площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра, мы можем найти объем призмы.

$V = S_{перп} \cdot l$

$V = 12,24 \cdot 0,5 = 6,12$ дм?

Ответ: 6,12 дм?.