Номер 529, страница 139 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

529. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол φ, а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии m от неё.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$. Обозначим сторону основания через $a$, а высоту пирамиды $SO$ через $H$, где $O$ — центр основания.

1. Анализ условия и построение.
По условию, боковая грань составляет с плоскостью основания угол $\phi$. Возьмем боковую грань $SBC$. Угол между плоскостью $(SBC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол при ребре $BC$.
Для измерения этого угла проведем апофему боковой грани $SK$ (где $K$ — середина $BC$) и медиану (она же высота и биссектриса) основания $AK$. Так как пирамида правильная, $SO \perp (ABC)$, а значит $SO \perp AK$ и $SO \perp OK$.
Линейным углом двугранного угла является угол $\angle SKO = \phi$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle SOK$: $H = SO = OK \cdot \tan\phi$.
$OK$ — это радиус вписанной в основание окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота $AK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, а радиус вписанной окружности $OK = \frac{1}{3} AK = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Таким образом, получаем первую зависимость: $H = \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan\phi$.

2. Использование расстояния от вершины основания до боковой грани.
Второе условие гласит, что вершина основания, не лежащая в грани $SBC$ (это вершина $A$), находится на расстоянии $m$ от плоскости $(SBC)$.
Рассмотрим плоскость $(SAK)$. Так как $BC \perp AK$ и $BC \perp SK$ (по теореме о трех перпендикулярах, т.к. $SO$ - перпендикуляр, $SK$ - наклонная, $OK$ - проекция, и $OK \perp BC$), то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(SAK)$.
Поскольку плоскость $(SBC)$ проходит через прямую $BC$, перпендикулярную плоскости $(SAK)$, то плоскость $(SBC)$ перпендикулярна плоскости $(SAK)$.
Линия пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей — прямая $SK$.
Расстояние от точки $A$, лежащей в плоскости $(SAK)$, до плоскости $(SBC)$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на линию их пересечения $SK$.
Пусть $AH'$ — перпендикуляр из $A$ на $SK$ в треугольнике $SAK$. Тогда по условию $AH' = m$.

3. Нахождение высоты и стороны основания.
Площадь треугольника $SAK$ можно выразить двумя способами: $S_{\triangle SAK} = \frac{1}{2} AK \cdot SO = \frac{1}{2} SK \cdot AH'$.
Подставим известные величины: $SO = H$, $AH' = m$. $AK \cdot H = SK \cdot m$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle SOK$: $SK = \frac{OK}{\cos\phi}$.
Высота основания $AK = 3 \cdot OK$.
Подставляем эти соотношения в равенство: $(3 \cdot OK) \cdot H = \left(\frac{OK}{\cos\phi}\right) \cdot m$.
Сокращаем на $OK$ (которое не равно нулю): $3H = \frac{m}{\cos\phi}$, откуда находим высоту пирамиды: $H = \frac{m}{3\cos\phi}$.
Теперь найдем сторону основания $a$. Приравняем два выражения для $H$: $\frac{a\sqrt{3}}{6} \tan\phi = \frac{m}{3\cos\phi}$.
$\frac{a\sqrt{3}}{6} \frac{\sin\phi}{\cos\phi} = \frac{m}{3\cos\phi}$.
$\frac{a\sqrt{3}}{6} \sin\phi = \frac{m}{3}$.
$a\sqrt{3}\sin\phi = 2m$, откуда $a = \frac{2m}{\sqrt{3}\sin\phi} = \frac{2\sqrt{3}m}{3\sin\phi}$.

4. Вычисление объёма пирамиды.
Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot H$.
Площадь основания (равностороннего треугольника): $S_{base} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставим найденное выражение для $a$: $S_{base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{2\sqrt{3}m}{3\sin\phi}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot m^2}{9\sin^2\phi} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4m^2}{3\sin^2\phi} = \frac{\sqrt{3}m^2}{3\sin^2\phi}$.
Теперь подставим $S_{base}$ и $H$ в формулу объёма: $V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}m^2}{3\sin^2\phi}\right) \cdot \left(\frac{m}{3\cos\phi}\right)$.
$V = \frac{\sqrt{3}m^3}{27\sin^2\phi\cos\phi}$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}m^3}{27\sin^2\phi\cos\phi}$.