Номер 536, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 4. Объём шара и площадь сферы, дополнительные задачи. Глава 5. Объёмы тел - номер 536, страница 140.

Условие.

536. Два ребра тетраэдра равны b, a остальные четыре ребра равны а. Найдите объём тетраэдра, если рёбра длины b: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек.

Решение 2.

Решение 6.

Объем тетраэдра $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

Рассмотрим два случая расположения ребер длины $b$.

а) ребра длины b имеют общие точки

Пусть тетраэдр называется $DABC$. Если ребра длины $b$ имеют общую точку, то пусть это будет вершина $D$. Тогда ребра $DA$ и $DB$ имеют длину $b$, то есть $DA = DB = b$. Остальные четыре ребра $AB, BC, AC, DC$ имеют длину $a$.

В качестве основания тетраэдра выберем грань $ABC$. Так как $AB = BC = AC = a$, то основание является равносторонним треугольником со стороной $a$. Площадь такого треугольника равна:
$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Найдем высоту тетраэдра $H$, опущенную из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$. Пусть $O$ — основание высоты. Так как наклонные $DA$ и $DB$ равны ($DA=DB=b$), то их проекции на плоскость основания также равны, то есть $OA=OB$. Это означает, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. В равностороннем треугольнике $ABC$ серединный перпендикуляр к стороне $AB$ является также медианой и высотой $CM$, где $M$ — середина $AB$.

Для нахождения высоты $H=DO$ воспользуемся методом координат. Поместим середину ребра $AB$, точку $M$, в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль $AB$. Тогда вершины $A$ и $B$ имеют координаты $A(-a/2, 0, 0)$ и $B(a/2, 0, 0)$. Вершина $C$ лежит в плоскости $xy$ на высоте треугольника $ABC$, длина которой равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Координаты $C(0, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Пусть вершина $D$ имеет координаты $(x, y, z)$. Высота тетраэдра $H$ будет равна $|z|$. Запишем условия для длин ребер:
$DA^2 = (x + a/2)^2 + y^2 + z^2 = b^2$
$DB^2 = (x - a/2)^2 + y^2 + z^2 = b^2$
$DC^2 = x^2 + (y - \frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + z^2 = a^2$

Приравнивая $DA^2$ и $DB^2$, получаем $(x + a/2)^2 = (x - a/2)^2$, откуда $x=0$. Это подтверждает, что вершина $D$ проецируется на высоту $CM$ основания.

Подставим $x=0$ в систему:
$(a/2)^2 + y^2 + z^2 = b^2 \implies y^2 + z^2 = b^2 - a^2/4$
$(y - \frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + z^2 = a^2 \implies y^2 - ay\sqrt{3} + \frac{3a^2}{4} + z^2 = a^2$

Подставим $z^2 = b^2 - a^2/4 - y^2$ во второе уравнение:
$y^2 - ay\sqrt{3} + \frac{3a^2}{4} + (b^2 - a^2/4 - y^2) = a^2$
$-ay\sqrt{3} + \frac{a^2}{2} + b^2 = a^2 \implies b^2 - \frac{a^2}{2} = ay\sqrt{3} \implies y = \frac{2b^2 - a^2}{2a\sqrt{3}}$

Теперь найдем $z^2$:
$z^2 = b^2 - \frac{a^2}{4} - y^2 = b^2 - \frac{a^2}{4} - \left(\frac{2b^2 - a^2}{2a\sqrt{3}}\right)^2 = b^2 - \frac{a^2}{4} - \frac{4b^4 - 4a^2b^2 + a^4}{12a^2}$
$z^2 = \frac{12a^2b^2 - 3a^4 - (4b^4 - 4a^2b^2 + a^4)}{12a^2} = \frac{16a^2b^2 - 4a^4 - 4b^4}{12a^2} = \frac{4a^2b^2 - a^4 - b^4}{3a^2}$

Высота $H = |z| = \sqrt{\frac{4a^2b^2 - a^4 - b^4}{3a^2}} = \frac{\sqrt{4a^2b^2 - a^4 - b^4}}{a\sqrt{3}}$.

Вычисляем объем тетраэдра:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{4a^2b^2 - a^4 - b^4}}{a\sqrt{3}} = \frac{a}{12}\sqrt{4a^2b^2 - a^4 - b^4}$

Ответ: $V = \frac{a}{12}\sqrt{4a^2b^2 - a^4 - b^4}$.

б) ребра длины b не имеют общих точек

Пусть ребра $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися и имеют длину $b$. Тогда $AB=CD=b$. Остальные четыре ребра $AC, AD, BC, BD$ имеют длину $a$. В этом случае все четыре грани тетраэдра являются равными равнобедренными треугольниками со сторонами $a, a, b$. Такой тетраэдр называют равногранным.

Объем тетраэдра можно найти через длины скрещивающихся ребер, расстояние и угол между ними по формуле: $V = \frac{1}{6} d_1 d_2 h \sin\phi$, где $d_1, d_2$ — длины ребер, $h$ — расстояние между ними, $\phi$ — угол между ними.

Пусть $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно. В силу симметрии тетраэдра, отрезок $MN$ перпендикулярен ребрам $AB$ и $CD$. Его длина $h=MN$ является расстоянием между этими ребрами, а угол $\phi$ между ними равен $90^\circ$.

Найдем длину $h=MN$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Он равнобедренный с $AC=AD=a$ и основанием $CD=b$. $AN$ — медиана, проведенная к основанию, а значит, и высота. Из прямоугольного треугольника $ANC$ по теореме Пифагора:
$AN^2 = AC^2 - CN^2 = a^2 - (b/2)^2 = a^2 - \frac{b^2}{4}$

Теперь рассмотрим треугольник $AMN$. Так как $MN \perp AB$, то $\triangle AMN$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $M$. $AM = AB/2 = b/2$. По теореме Пифагора:
$h^2 = MN^2 = AN^2 - AM^2 = \left(a^2 - \frac{b^2}{4}\right) - \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4} = a^2 - \frac{b^2}{2}$
$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{2}}$

Теперь можем вычислить объем тетраэдра:
$V = \frac{1}{6} \cdot AB \cdot CD \cdot h \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{6} \cdot b \cdot b \cdot \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{2}} \cdot 1 = \frac{b^2}{6} \sqrt{\frac{2a^2 - b^2}{2}}$
$V = \frac{b^2}{6\sqrt{2}}\sqrt{2a^2 - b^2} = \frac{b^2\sqrt{2}\sqrt{2a^2 - b^2}}{12} = \frac{b^2\sqrt{4a^2 - 2b^2}}{12}$

Ответ: $V = \frac{b^2\sqrt{4a^2 - 2b^2}}{12}$.