Номер 541, страница 140 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

541. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна а, а острый угол между его диагоналями равен φ₁. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол φ₂. Найдите объём конуса.

Пусть в конус с вершиной $S$ и центром основания $O$ вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник $ABCD$. Так как пирамида вписана в конус, ее вершина совпадает с вершиной конуса, а основание (прямоугольник) вписано в окружность, являющуюся основанием конуса.

Согласно условию задачи:
- Меньшая сторона прямоугольника равна $a$. Пусть $AB = CD = a$.
- Острый угол между диагоналями прямоугольника равен $\varphi_1$. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным ($OA = OB$), и угол при вершине $\angle AOB = \varphi_1$.
- Боковая грань $SAB$, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол $\varphi_2$.

Объем конуса находится по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Для решения задачи необходимо найти $R$ и $H$.

1. Нахождение радиуса основания конуса (R)
Радиус основания конуса $R$ совпадает с радиусом окружности, описанной около прямоугольника $ABCD$. Этот радиус равен половине диагонали прямоугольника, то есть $R = OA = OB$.Рассмотрим равнобедренный треугольник $AOB$. Проведем в нем высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка $M$ — середина стороны $AB$, поэтому $AM = \frac{a}{2}$, и угол $\angle AOM = \frac{\varphi_1}{2}$.Из прямоугольного треугольника $AMO$ (где $\angle AMO = 90^\circ$) находим:$ \sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} \implies \sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) = \frac{a/2}{R} $Отсюда выражаем радиус $R$:$ R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} $

2. Нахождение высоты конуса (H)
Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $SO$.Двугранный угол между плоскостью боковой грани $SAB$ и плоскостью основания $ABCD$ равен $\varphi_2$. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AB$.Для измерения этого угла построим его линейный угол. Из центра основания $O$ опустим перпендикуляр $OM$ на сторону $AB$. Поскольку $O$ — центр прямоугольника, $OM$ перпендикулярен $AB$ и $M$ является серединой $AB$.Соединим вершину $S$ с точкой $M$. Отрезок $SM$ является апофемой боковой грани $SAB$ (так как треугольник $SAB$ равнобедренный с $SA=SB$, его медиана $SM$ является и высотой, то есть $SM \perp AB$).Таким образом, угол $\angle SMO$ является линейным углом заданного двугранного угла, и по условию $\angle SMO = \varphi_2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$, так как $SO$ — высота конуса и перпендикулярна плоскости основания). Из определения тангенса угла:$ \tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} \implies \tan(\varphi_2) = \frac{H}{OM} $Отсюда $H = OM \cdot \tan(\varphi_2)$.Длину отрезка $OM$ найдем из прямоугольного треугольника $AMO$:$ \tan(\angle AOM) = \frac{AM}{OM} \implies \tan\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) = \frac{a/2}{OM} $$ OM = \frac{a/2}{\tan\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} = \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) $Подставим найденное значение $OM$ в выражение для высоты $H$:$ H = \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) \tan(\varphi_2) $

3. Вычисление объема конуса (V)
Подставим полученные выражения для радиуса $R$ и высоты $H$ в формулу объема конуса:$ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} \right)^2 \left( \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) \tan(\varphi_2) \right) $Выполним преобразования:$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2}{4 \sin^2\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\cos\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} \cdot \tan(\varphi_2) $$ V = \frac{\pi a^3 \tan(\varphi_2)}{3 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\cos\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{\varphi_1}{2}\right) \sin\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} $$ V = \frac{\pi a^3 \tan(\varphi_2) \cos\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{24 \sin^3\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)} $

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\varphi_2) \cos\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{24 \sin^3\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}$ или, в другой форме, $V = \frac{\pi a^3 \tan(\varphi_2) \cot\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}{24 \sin^2\left(\frac{\varphi_1}{2}\right)}$.