Номер 547, страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

547. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом α при основании вписан шар объёма V. Найдите объём пирамиды.

Пусть $V_{пир}$ — искомый объём правильной треугольной пирамиды, а $V$ — объём вписанного в неё шара. Пусть $r$ — радиус этого шара.

Объём шара выражается через его радиус формулой:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Отсюда мы можем выразить куб радиуса шара:

$r^3 = \frac{3V}{4\pi}$

Теперь рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту $H$ и апофему боковой грани $h_a$. В основании этого сечения лежит радиус $r_{осн}$ окружности, вписанной в основание пирамиды (правильный треугольник). Сечение представляет собой равнобедренный треугольник, а двугранный угол при основании пирамиды $\alpha$ является углом между апофемой $h_a$ и радиусом $r_{осн}$.

Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды и является центром окружности, вписанной в это осевое сечение (не совсем, но он лежит на биссектрисе угла $\alpha$). Расстояние от центра шара до основания пирамиды и до её боковой грани равно радиусу шара $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности основания $r_{осн}$ и апофемой $h_a$. В этом треугольнике центр вписанного шара находится на высоте $H$ на расстоянии $r$ от основания. Прямая, соединяющая вершину угла $\alpha$ с центром вписанного шара, является биссектрисой этого угла. Из прямоугольного треугольника с катетами $r$ (радиус шара) и $r_{осн}$ (радиус вписанной в основание окружности) имеем:

$\mathrm{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{r_{осн}}$

Отсюда выразим радиус окружности, вписанной в основание:

$r_{осн} = \frac{r}{\mathrm{tg}(\frac{\alpha}{2})} = r \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Высота пирамиды $H$ находится из того же треугольника сечения:

$H = r_{осн} \cdot \mathrm{tg}(\alpha) = r \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha)$

Площадь основания правильной треугольной пирамиды $S_{осн}$ выражается через радиус вписанной в него окружности $r_{осн}$ по формуле:

$S_{осн} = 3\sqrt{3} r_{осн}^2$

Подставим выражение для $r_{осн}$:

$S_{осн} = 3\sqrt{3} \left(r \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 = 3\sqrt{3} r^2 \mathrm{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Объём пирамиды равен:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \left(3\sqrt{3} r^2 \mathrm{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \left(r \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha)\right)$

$V_{пир} = \sqrt{3} r^3 \mathrm{ctg}^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha)$

Упростим тригонометрическое выражение. Используем формулы двойного угла и универсальной тригонометрической подстановки:

$\mathrm{tg}(\alpha) = \frac{2\mathrm{tg}(\frac{\alpha}{2})}{1 - \mathrm{tg}^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2}{\mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})(1 - \frac{1}{\mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})})} = \frac{2\mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})}{\mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

$\mathrm{ctg}^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha) = \mathrm{ctg}^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \frac{2\mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})}{\mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1} = \frac{2\mathrm{ctg}^4(\frac{\alpha}{2})}{\mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

Другой способ упрощения через $\cos\alpha$:

$\mathrm{ctg}^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha) = \frac{\cos^3(\frac{\alpha}{2})}{\sin^3(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos\alpha} = \frac{2\cos^4(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos\alpha}$

Используя формулы понижения степени $2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 + \cos\alpha$ и $2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 - \cos\alpha$, получаем:

$\frac{(2\cos^2(\frac{\alpha}{2}))^2}{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos\alpha} = \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$

Таким образом, объём пирамиды:

$V_{пир} = \sqrt{3} r^3 \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$

Наконец, подставим выражение для $r^3 = \frac{3V}{4\pi}$:

$V_{пир} = \sqrt{3} \left(\frac{3V}{4\pi}\right) \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha} = \frac{3\sqrt{3}V}{4\pi} \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}V}{4\pi} \cdot \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$