Страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

547. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом α при основании вписан шар объёма V. Найдите объём пирамиды.

Пусть $V_{пир}$ — искомый объём правильной треугольной пирамиды, а $V$ — объём вписанного в неё шара. Пусть $r$ — радиус этого шара.

Объём шара выражается через его радиус формулой:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Отсюда мы можем выразить куб радиуса шара:

$r^3 = \frac{3V}{4\pi}$

Теперь рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её высоту $H$ и апофему боковой грани $h_a$. В основании этого сечения лежит радиус $r_{осн}$ окружности, вписанной в основание пирамиды (правильный треугольник). Сечение представляет собой равнобедренный треугольник, а двугранный угол при основании пирамиды $\alpha$ является углом между апофемой $h_a$ и радиусом $r_{осн}$.

Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды и является центром окружности, вписанной в это осевое сечение (не совсем, но он лежит на биссектрисе угла $\alpha$). Расстояние от центра шара до основания пирамиды и до её боковой грани равно радиусу шара $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности основания $r_{осн}$ и апофемой $h_a$. В этом треугольнике центр вписанного шара находится на высоте $H$ на расстоянии $r$ от основания. Прямая, соединяющая вершину угла $\alpha$ с центром вписанного шара, является биссектрисой этого угла. Из прямоугольного треугольника с катетами $r$ (радиус шара) и $r_{осн}$ (радиус вписанной в основание окружности) имеем:

$\mathrm{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{r_{осн}}$

Отсюда выразим радиус окружности, вписанной в основание:

$r_{осн} = \frac{r}{\mathrm{tg}(\frac{\alpha}{2})} = r \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Высота пирамиды $H$ находится из того же треугольника сечения:

$H = r_{осн} \cdot \mathrm{tg}(\alpha) = r \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha)$

Площадь основания правильной треугольной пирамиды $S_{осн}$ выражается через радиус вписанной в него окружности $r_{осн}$ по формуле:

$S_{осн} = 3\sqrt{3} r_{осн}^2$

Подставим выражение для $r_{осн}$:

$S_{осн} = 3\sqrt{3} \left(r \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 = 3\sqrt{3} r^2 \mathrm{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Объём пирамиды равен:

$V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \left(3\sqrt{3} r^2 \mathrm{ctg}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \left(r \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha)\right)$

$V_{пир} = \sqrt{3} r^3 \mathrm{ctg}^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha)$

Упростим тригонометрическое выражение. Используем формулы двойного угла и универсальной тригонометрической подстановки:

$\mathrm{tg}(\alpha) = \frac{2\mathrm{tg}(\frac{\alpha}{2})}{1 - \mathrm{tg}^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2}{\mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})(1 - \frac{1}{\mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2})})} = \frac{2\mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})}{\mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

$\mathrm{ctg}^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha) = \mathrm{ctg}^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \frac{2\mathrm{ctg}(\frac{\alpha}{2})}{\mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1} = \frac{2\mathrm{ctg}^4(\frac{\alpha}{2})}{\mathrm{ctg}^2(\frac{\alpha}{2}) - 1}$

Другой способ упрощения через $\cos\alpha$:

$\mathrm{ctg}^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \mathrm{tg}(\alpha) = \frac{\cos^3(\frac{\alpha}{2})}{\sin^3(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos\alpha} = \frac{2\cos^4(\frac{\alpha}{2})}{\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos\alpha}$

Используя формулы понижения степени $2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 + \cos\alpha$ и $2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 - \cos\alpha$, получаем:

$\frac{(2\cos^2(\frac{\alpha}{2}))^2}{2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\cos\alpha} = \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$

Таким образом, объём пирамиды:

$V_{пир} = \sqrt{3} r^3 \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$

Наконец, подставим выражение для $r^3 = \frac{3V}{4\pi}$:

$V_{пир} = \sqrt{3} \left(\frac{3V}{4\pi}\right) \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha} = \frac{3\sqrt{3}V}{4\pi} \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}V}{4\pi} \cdot \frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)\cos\alpha}$

548. В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом α, вписан шар. Найдите объём шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол β.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ – радиус шара. Для решения задачи необходимо найти радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

По условию, все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Основанием пирамиды является ромб. Центром вписанной в ромб окружности является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку $O$.

Центр вписанного в такую пирамиду шара лежит на ее высоте. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту пирамиды $SO$ и перпендикулярной одной из сторон основания. Это сечение содержит высоту $SO$, радиус вписанной в основание окружности $OK$ (где $K$ – точка касания) и апофему боковой грани $SK$. Треугольник $SOK$ является прямоугольным ($\angle SOK = 90^\circ$). Угол $\angle SKO = \beta$ – это угол наклона боковой грани к основанию.

Радиус $r$ вписанного в пирамиду шара можно найти из прямоугольного треугольника $SOK$. Центр шара $O_s$ лежит на высоте $SO$ и равноудален от основания (катет $OK$) и боковой грани (гипотенуза $SK$). Таким образом, радиус шара $r$ связан с радиусом вписанной в основание окружности $r_{in} = OK$ и углом $\beta$ соотношением:

$r = r_{in} \cdot \tan\frac{\beta}{2}$

Теперь найдем радиус $r_{in}$ окружности, вписанной в ромб. Высота ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ равна $h = a \sin\alpha$. Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:

$r_{in} = \frac{h}{2} = \frac{a \sin\alpha}{2}$

Подставим найденное значение $r_{in}$ в формулу для радиуса шара $r$:

$r = \frac{a \sin\alpha}{2} \cdot \tan\frac{\beta}{2}$

Наконец, найдем объем шара, подставив выражение для $r$ в формулу объема:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a \sin\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2}\right)^3$

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3 \sin^3\alpha \tan^3\frac{\beta}{2}}{8}$

$V = \frac{4\pi a^3}{24} \sin^3\alpha \tan^3\frac{\beta}{2} = \frac{\pi a^3}{6} \sin^3\alpha \tan^3\frac{\beta}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{6} \sin^3\alpha \tan^3\frac{\beta}{2}$

549. В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол α. Найдите объём цилиндра .

Пусть радиус сферы равен $R$. Обозначим радиус основания вписанного цилиндра как $r$, а его высоту как $h$. Осевое сечение такого цилиндра является прямоугольником со сторонами $2r$ (диаметр основания) и $h$.

Поскольку цилиндр вписан в сферу, вершины его осевого сечения лежат на поверхности сферы. Это означает, что диагональ $d$ этого прямоугольника является диаметром сферы, то есть $d = 2R$.

Эта диагональ, вместе со сторонами прямоугольника ($2r$ и $h$), образует прямоугольный треугольник. По условию, угол между диагональю и основанием цилиндра (то есть стороной $2r$) равен $\alpha$.

Из тригонометрических соотношений в этом прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна $d=2R$, мы можем выразить катеты $2r$ и $h$:
Диаметр основания цилиндра (прилежащий к углу $\alpha$ катет): $2r = d \cos(\alpha) = 2R \cos(\alpha)$. Отсюда находим радиус основания: $r = R \cos(\alpha)$.
Высота цилиндра (противолежащий углу $\alpha$ катет): $h = d \sin(\alpha) = 2R \sin(\alpha)$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставим найденные выражения для $r$ и $h$: $V = \pi (R \cos(\alpha))^2 (2R \sin(\alpha)) = \pi R^2 \cos^2(\alpha) \cdot 2R \sin(\alpha)$.

Таким образом, объём цилиндра равен $2\pi R^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.

Ответ: $2\pi R^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.

550. В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен α. Образующая цилиндра равна l. Найдите объём шара.

Пусть $R$ — радиус шара, в который вписан цилиндр, а $V$ — объём этого шара. Высота (образующая) цилиндра по условию равна $l$.

Рассмотрим осевое сечение. Оно представляет собой прямоугольник (осевое сечение цилиндра), вписанный в большой круг (осевое сечение шара). Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $l$ и его диаметр $D_{цил}$.

Диагонали этого прямоугольника являются диаметрами шара, поэтому их длина равна $2R$. Они пересекаются в центре шара $O$. По условию, угол между диагоналями равен $\alpha$.

Диагонали прямоугольника при пересечении образуют две пары равных вертикальных углов. Одна пара углов лежит напротив сторон $l$, другая — напротив сторон $D_{цил}$. Будем считать, что $\alpha$ — это угол, лежащий напротив стороны $l$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами шара (половинами диагонали) и стороной прямоугольника, равной $l$. Стороны этого треугольника равны $R, R, l$, а угол при вершине, противолежащий основанию $l$, равен $\alpha$.

Проведём в этом треугольнике высоту из вершины $O$ к основанию $l$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенуза равна $R$, катет, противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$, равен $\frac{l}{2}$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике следует: $ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{l/2}{R} $

Выразим радиус шара $R$: $ R = \frac{l/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{l}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} $

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим в неё найденное выражение для $R$ и упростим: $ V = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{l}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{l^3}{8\sin^3(\frac{\alpha}{2})} = \frac{4\pi l^3}{24\sin^3(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi l^3}{6\sin^3(\frac{\alpha}{2})} $

Ответ: $V = \frac{\pi l^3}{6\sin^3(\frac{\alpha}{2})}$.

551. В шар вписан конус, радиус основания которого равен r, а высота равна Н. Найдите площадь поверхности и объём шара.

Для решения задачи введём радиус шара $R$. Чтобы связать его с параметрами конуса ($r$ — радиус основания, $H$ — высота), рассмотрим осевое сечение всей системы. В сечении шар представляет собой окружность радиуса $R$, а вписанный конус — равнобедренный треугольник с высотой $H$ и основанием $2r$, вписанный в эту окружность.

Пусть центр шара (и окружности в сечении) — точка $O$. Вершина конуса — точка $A$, а центр его основания — точка $C$. Тогда высота конуса — это отрезок $AC=H$. Точка $O$ лежит на прямой $AC$. Пусть точка $B$ лежит на окружности основания конуса. В сечении это одна из вершин основания равнобедренного треугольника. Тогда $CB=r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OCB$. Его гипотенуза $OB$ является радиусом шара, $OB=R$. Один катет $CB$ является радиусом основания конуса, $CB=r$. Второй катет $OC$ — это расстояние от центра шара до центра основания конуса. Длину этого катета можно выразить как $|H - AO| = |H-R|$, поскольку $AO$ также является радиусом шара.

По теореме Пифагора для треугольника $OCB$ имеем:

$OB^2 = OC^2 + CB^2$

$R^2 = (H-R)^2 + r^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:

$R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + r^2$

$2HR = H^2 + r^2$

$R = \frac{H^2 + r^2}{2H}$

Теперь, когда мы выразили радиус шара $R$ через известные величины $r$ и $H$, можем найти площадь его поверхности и объём.

Площадь поверхности шара

Формула площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$. Подставим найденное выражение для $R$:

$S = 4\pi \left(\frac{H^2 + r^2}{2H}\right)^2 = 4\pi \frac{(H^2 + r^2)^2}{4H^2} = \pi \frac{(H^2 + r^2)^2}{H^2}$

Ответ: $S = \pi \frac{(H^2 + r^2)^2}{H^2}$

Объём шара

Формула объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим найденное выражение для $R$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{H^2 + r^2}{2H}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{(H^2 + r^2)^3}{8H^3} = \frac{4\pi(H^2 + r^2)^3}{24H^3} = \frac{\pi(H^2 + r^2)^3}{6H^3}$

Ответ: $V = \frac{\pi(H^2 + r^2)^3}{6H^3}$

552. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объём шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол α.

Пусть дана пирамида, вписанная в шар. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Обозначим вершины основания как A, B, C, где AB — гипотенуза, а S — вершина пирамиды.

Поскольку все боковые ребра пирамиды (SA, SB, SC) составляют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$, вершина пирамиды S проецируется в центр окружности, описанной около треугольника ABC. Обозначим эту проекцию как точку O. Таким образом, SO — высота пирамиды.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Следовательно, точка O — это середина гипотенузы AB. Радиус этой окружности $R_{осн}$ равен половине длины гипотенузы: $R_{осн} = OA = OB = OC = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет OA является радиусом описанной окружности основания, $OA = R_{осн} = 1$ см. Угол между боковым ребром SA и его проекцией OA равен $\alpha$ (то есть, $\angle SAO = \alpha$). Высоту пирамиды H можно найти из этого треугольника: $H = SO = OA \cdot \tan(\alpha) = 1 \cdot \tan(\alpha) = \tan(\alpha)$.

Центр шара, описанного около пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности. Это означает, что центр шара, обозначим его Q, лежит на прямой SO. Радиус шара $R$ равен расстоянию от его центра Q до любой из вершин пирамиды, например, $R = QA = QS$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник QOA. По теореме Пифагора: $QA^2 = QO^2 + OA^2$. Расстояние QS также равно $R$. Так как точки S, Q, O лежат на одной прямой, то $QS = |SO - QO| = |H - QO|$. Получаем систему уравнений для нахождения радиуса шара $R$: $R^2 = QO^2 + R_{осн}^2$ $R = |H - QO|$ Возведя второе уравнение в квадрат и подставив $H = \tan(\alpha)$ и $R_{осн} = 1$, получаем: $R^2 = (H - QO)^2 = H^2 - 2H \cdot QO + QO^2$ Из первого уравнения $QO^2 = R^2 - R_{осн}^2 = R^2 - 1$. Подставив $QO^2$ и выразив $QO$ из второго уравнения ($QO = H-R$, если $Q$ между $S$ и $O$), получим: $2HR = H^2 + R_{осн}^2$ $R = \frac{H^2 + R_{осн}^2}{2H} = \frac{\tan^2(\alpha) + 1^2}{2\tan(\alpha)} = \frac{\tan^2(\alpha) + 1}{2\tan(\alpha)}$ Применим тригонометрические тождества $1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ и $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$: $R = \frac{1/\cos^2(\alpha)}{2\sin(\alpha)/\cos(\alpha)} = \frac{1}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$ Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, находим радиус шара: $R = \frac{1}{\sin(2\alpha)}$

Площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$. Подставив найденное значение радиуса $R$, получим: $S_{шара} = 4\pi \left(\frac{1}{\sin(2\alpha)}\right)^2 = \frac{4\pi}{\sin^2(2\alpha)}$ см$^2$.
Ответ: $\frac{4\pi}{\sin^2(2\alpha)}$ см$^2$.

Объём шара

Объём шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставив найденное значение радиуса $R$, получим: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{\sin(2\alpha)}\right)^3 = \frac{4\pi}{3\sin^3(2\alpha)}$ см$^3$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3\sin^3(2\alpha)}$ см$^3$.

553. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол β. Найдите площадь поверхности и объём шара.

Для нахождения площади поверхности и объёма шара необходимо определить его радиус $R$.

Пусть $SABCD$ — данная пирамида, вписанная в шар, где $ABCD$ — прямоугольник в основании. Пусть $S$ — вершина пирамиды. Так как каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием один и тот же угол $\beta$, то высота пирамиды $SO$ проецируется в центр окружности, описанной около основания. Центром окружности, описанной около прямоугольника, является точка пересечения его диагоналей $O$.

Радиус $r$ окружности, описанной около прямоугольника-основания, равен половине его диагонали $d$. По условию $d=10$ см, следовательно:

$r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Этот радиус $r$ является проекцией бокового ребра на плоскость основания. Например, для бокового ребра $SA$, его проекцией будет отрезок $OA$, и $OA=r=5$ см. Угол между боковым ребром $SA$ и основанием — это угол $\angle SAO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$. Из него мы можем найти длину бокового ребра $l = SA$:

$\cos\beta = \frac{OA}{SA} \implies SA = \frac{OA}{\cos\beta} = \frac{5}{\cos\beta}$ см.

Все вершины пирамиды лежат на поверхности шара. Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой окружность, описанную около равнобедренного треугольника $\triangle SAC$. Эта окружность является большим кругом шара, и её радиус равен радиусу шара $R$.

Найдем радиус $R$ описанной окружности треугольника $\triangle SAC$. Стороны этого треугольника: $AC = 10$ см, $SA = SC = l = \frac{5}{\cos\beta}$ см.

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4K}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $K$ — его площадь.

Найдем высоту треугольника $\triangle SAC$, проведенную из вершины $S$, которая является высотой пирамиды $SO$. Из прямоугольного треугольника $\triangle SAO$:

$SO = OA \cdot \tan\beta = 5 \tan\beta$ см.

Площадь треугольника $\triangle SAC$:

$K = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 \tan\beta = 25 \tan\beta$ см?.

Теперь вычислим радиус шара $R$:

$R = \frac{SA \cdot SC \cdot AC}{4K} = \frac{\frac{5}{\cos\beta} \cdot \frac{5}{\cos\beta} \cdot 10}{4 \cdot 25 \tan\beta} = \frac{\frac{250}{\cos^2\beta}}{100 \tan\beta} = \frac{250}{100 \cos^2\beta \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{2.5}{\sin\beta\cos\beta}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta$, получим:

$R = \frac{2.5}{\frac{1}{2}\sin(2\beta)} = \frac{5}{\sin(2\beta)}$ см.

Теперь, зная радиус шара, можем найти его площадь поверхности и объём.

Площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

$S = 4\pi \left(\frac{5}{\sin(2\beta)}\right)^2 = 4\pi \frac{25}{\sin^2(2\beta)} = \frac{100\pi}{\sin^2(2\beta)}$ см?.

Ответ: $S = \frac{100\pi}{\sin^2(2\beta)}$ см?.

Объём шара

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{5}{\sin(2\beta)}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{125}{\sin^3(2\beta)} = \frac{500\pi}{3\sin^3(2\beta)}$ см?.

Ответ: $V = \frac{500\pi}{3\sin^3(2\beta)}$ см?.

554. Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м³?

Общая вместимость цистерны, равная 50 м?, складывается из объема ее центральной цилиндрической части и объемов двух одинаковых шаровых сегментов, присоединенных к ее основаниям. Обозначим искомая длину образующей (высоту) цилиндра как $L$.

1. Вычисление объема двух шаровых сегментов

Объем одного шарового сегмента ($V_{сегм}$) вычисляется по формуле:

$V_{сегм} = \frac{1}{6} \pi h (3a^2 + h^2)$

где $h$ – высота сегмента, а $a$ – радиус основания сегмента. По условию, радиус основания сегмента равен радиусу цилиндра, то есть $a = 1,5$ м, а высота сегмента $h = 0,5$ м.

Подставим данные значения в формулу:

$V_{сегм} = \frac{1}{6} \pi \cdot 0,5 \cdot (3 \cdot (1,5)^2 + (0,5)^2)$

$V_{сегм} = \frac{0,5\pi}{6} \cdot (3 \cdot 2,25 + 0,25)$

$V_{сегм} = \frac{\pi}{12} \cdot (6,75 + 0,25)$

$V_{сегм} = \frac{\pi}{12} \cdot 7 = \frac{7\pi}{12}$ м?

Поскольку к цистерне присоединены два таких сегмента, их суммарный объем ($V_{2сегм}$) будет:

$V_{2сегм} = 2 \cdot V_{сегм} = 2 \cdot \frac{7\pi}{12} = \frac{14\pi}{12} = \frac{7\pi}{6}$ м?

2. Вычисление объема цилиндрической части

Общий объем цистерны ($V_{общ}$) равен сумме объема цилиндра ($V_{цил}$) и объема двух сегментов.

$V_{общ} = V_{цил} + V_{2сегм}$

Отсюда можем найти объем цилиндрической части, зная, что $V_{общ} = 50$ м?:

$V_{цил} = V_{общ} - V_{2сегм} = 50 - \frac{7\pi}{6}$ м?

3. Вычисление длины образующей цилиндра

Объем цилиндра также находится по формуле:

$V_{цил} = S_{осн} \cdot L = \pi r^2 L$

где $r$ – радиус основания цилиндра ($r=1,5$ м), а $L$ – его высота (длина образующей).

Выразим $L$ из этой формулы:

$L = \frac{V_{цил}}{\pi r^2}$

Подставим известные значения:

$L = \frac{50 - \frac{7\pi}{6}}{\pi \cdot (1,5)^2} = \frac{50 - \frac{7\pi}{6}}{2,25\pi}$

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$L = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{\frac{7\pi}{6}}{2,25\pi} = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{7}{6 \cdot 2,25} = \frac{50}{2,25\pi} - \frac{7}{13,5}$

Теперь проведем вычисления, приняв $\pi \approx 3,1416$:

$L \approx \frac{50}{2,25 \cdot 3,1416} - \frac{7}{13,5} \approx \frac{50}{7,0686} - 0,5185$

$L \approx 7,0736 - 0,5185 \approx 6,5551$ м

Округлим результат до сотых.

Ответ: Длина образующей цилиндра должна быть примерно 6,56 м.

555. Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объём и какое — наименьший?

Для решения задачи необходимо выразить объём ($V$) каждой из четырёх фигур через их площадь полной поверхности ($S$), которая по условию одинакова для всех. Затем мы сравним полученные выражения для объёмов.

Куб

Пусть $a$ — длина ребра куба.
Площадь поверхности куба: $S = 6a^2$.
Объём куба: $V_{куб} = a^3$.
Из формулы для площади поверхности выразим $a$: $a = \sqrt{\frac{S}{6}}$.
Подставим это выражение в формулу для объёма:
$V_{куб} = \left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^3 = \left(\frac{S}{6}\right)^{3/2} = \frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}} = \frac{S^{3/2}}{\sqrt{216}}$.

Шар

Пусть $R$ — радиус шара.
Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$.
Объём шара: $V_{шар} = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Из формулы для площади поверхности выразим $R$: $R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$.
Подставим это выражение в формулу для объёма:
$V_{шар} = \frac{4}{3}\pi \left(\sqrt{\frac{S}{4\pi}}\right)^3 = \frac{4\pi}{3} \left(\frac{S}{4\pi}\right)^{3/2} = \frac{4\pi S^{3/2}}{3 \cdot (4\pi)^{3/2}} = \frac{4\pi S^{3/2}}{3 \cdot 8\pi\sqrt{\pi}} = \frac{S^{3/2}}{6\sqrt{\pi}} = \frac{S^{3/2}}{\sqrt{36\pi}}$.

Цилиндр

Пусть $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра. По условию, диаметр основания равен высоте, то есть $h = 2r$.
Площадь полной поверхности цилиндра: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$. Подставляя $h=2r$, получаем: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 6\pi r^2$.
Объём цилиндра: $V_{цил} = \pi r^2 h$. Подставляя $h=2r$, получаем: $V_{цил} = \pi r^2(2r) = 2\pi r^3$.
Из формулы для площади поверхности выразим $r$: $r = \sqrt{\frac{S}{6\pi}}$.
Подставим это выражение в формулу для объёма:
$V_{цил} = 2\pi \left(\sqrt{\frac{S}{6\pi}}\right)^3 = 2\pi \left(\frac{S}{6\pi}\right)^{3/2} = \frac{2\pi S^{3/2}}{(6\pi)^{3/2}} = \frac{2\pi S^{3/2}}{6\pi\sqrt{6\pi}} = \frac{S^{3/2}}{3\sqrt{6\pi}} = \frac{S^{3/2}}{\sqrt{54\pi}}$.

Конус

Пусть $r$ — радиус основания, $h$ — высота, а $l$ — образующая конуса. По условию, $h=2r$.
Образующую $l$ найдём по теореме Пифагора: $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$.
Площадь полной поверхности конуса: $S = \pi r^2 + \pi r l$. Подставляя $l=r\sqrt{5}$, получаем: $S = \pi r^2 + \pi r(r\sqrt{5}) = \pi r^2(1+\sqrt{5})$.
Объём конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставляя $h=2r$, получаем: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2(2r) = \frac{2}{3}\pi r^3$.
Из формулы для площади поверхности выразим $r$: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi(1+\sqrt{5})}}$.
Подставим это выражение в формулу для объёма:
$V_{кон} = \frac{2}{3}\pi \left(\sqrt{\frac{S}{\pi(1+\sqrt{5})}}\right)^3 = \frac{2\pi}{3} \left(\frac{S}{\pi(1+\sqrt{5})}\right)^{3/2} = \frac{2\pi S^{3/2}}{3(\pi(1+\sqrt{5}))^{3/2}} = \frac{2 S^{3/2}}{3(1+\sqrt{5})\sqrt{\pi(1+\sqrt{5})}} = \frac{S^{3/2}}{\sqrt{\frac{9\pi(1+\sqrt{5})^3}{4}}}$.

Сравнение объёмов

Мы выразили объём каждой фигуры в виде $V \sim \frac{1}{\sqrt{D}} S^{3/2}$, где $D$ — некоторое число. Чтобы сравнить объёмы, нам нужно сравнить знаменатели: чем меньше знаменатель $D$, тем больше объём. Сравним значения $D$ (квадраты знаменателей) для каждой фигуры:
- Для куба: $D_{куб} = 216$
- Для шара: $D_{шар} = 36\pi \approx 36 \cdot 3.1416 \approx 113.1$
- Для цилиндра: $D_{цил} = 54\pi \approx 54 \cdot 3.1416 \approx 169.6$
- Для конуса: $D_{кон} = \frac{9\pi(1+\sqrt{5})^3}{4} = 18\pi(2+\sqrt{5}) \approx 18 \cdot 3.1416 \cdot (2+2.236) \approx 239.5$

Расположим значения $D$ в порядке возрастания:
$D_{шар} < D_{цил} < D_{куб} < D_{кон}$
$113.1 < 169.6 < 216 < 239.5$
Это соответствует следующему соотношению для объёмов (в порядке убывания):
$V_{шар} > V_{цил} > V_{куб} > V_{кон}$

Таким образом, при одинаковой площади поверхности наибольший объём имеет шар, а наименьший — конус.
Ответ: Наибольший объём имеет шар, а наименьший — конус.

556. Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди 8,9 г/см³.)

Для того чтобы определить, будет ли полый шар плавать в воде, необходимо сравнить его среднюю плотность ($?_{ср}$) с плотностью воды ($?_{воды}$). Плотность пресной воды принимаем равной $?_{воды} = 1 \text{ г/см}^3$.

Тело плавает, если его средняя плотность меньше или равна плотности жидкости ($?_{ср} \le ?_{воды}$).

Тело тонет, если его средняя плотность больше плотности жидкости ($?_{ср} > ?_{воды}$).

Средняя плотность полого шара вычисляется как отношение его массы к его внешнему объему. Масса шара — это произведение плотности меди ($?_{меди}$) на объем меди ($V_{меди}$).

$?_{ср} = \frac{m_{шара}}{V_{внешн}} = \frac{?_{меди} \cdot V_{меди}}{V_{внешн}}$

Объем меди ($V_{меди}$) — это разность между внешним ($V_{внешн}$) и внутренним ($V_{внутр}$) объемами шара.

$V_{меди} = V_{внешн} - V_{внутр} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$

где $R$ — внешний радиус, а $r$ — внутренний радиус.

Подставив это в формулу для средней плотности, получим:

$?_{ср} = \frac{?_{меди} \cdot \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)}{\frac{4}{3}\pi R^3} = ?_{меди} \frac{R^3 - r^3}{R^3} = ?_{меди}\left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^3\right)$

Исходные данные:

Внешний диаметр шара $D = 10 \text{ см}$, следовательно, внешний радиус $R = \frac{D}{2} = 5 \text{ см}$.

Плотность меди $?_{меди} = 8,9 \text{ г/см}^3$.

Внутренний радиус $r$ вычисляется как $r = R - h$, где $h$ — толщина стенки.

а) 2 мм

1. Переведем толщину стенки в сантиметры:

$h = 2 \text{ мм} = 0,2 \text{ см}$

2. Найдем внутренний радиус шара:

$r = R - h = 5 \text{ см} - 0,2 \text{ см} = 4,8 \text{ см}$

3. Рассчитаем среднюю плотность шара:

$?_{ср} = ?_{меди}\left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^3\right) = 8,9 \cdot \left(1 - \left(\frac{4,8}{5}\right)^3\right) = 8,9 \cdot (1 - 0,96^3)$

$?_{ср} = 8,9 \cdot (1 - 0,884736) = 8,9 \cdot 0,115264 \approx 1,026 \text{ г/см}^3$

4. Сравним среднюю плотность шара с плотностью воды:

$1,026 \text{ г/см}^3 > 1 \text{ г/см}^3$, то есть $?_{ср} > ?_{воды}$.

Поскольку средняя плотность шара больше плотности воды, шар утонет.

Ответ: нет, шар с толщиной стенки 2 мм в воде утонет.

б) 1,5 мм

1. Переведем толщину стенки в сантиметры:

$h = 1,5 \text{ мм} = 0,15 \text{ см}$

2. Найдем внутренний радиус шара:

$r = R - h = 5 \text{ см} - 0,15 \text{ см} = 4,85 \text{ см}$

3. Рассчитаем среднюю плотность шара:

$?_{ср} = ?_{меди}\left(1 - \left(\frac{r}{R}\right)^3\right) = 8,9 \cdot \left(1 - \left(\frac{4,85}{5}\right)^3\right) = 8,9 \cdot (1 - 0,97^3)$

$?_{ср} = 8,9 \cdot (1 - 0,912673) = 8,9 \cdot 0,087327 \approx 0,777 \text{ г/см}^3$

4. Сравним среднюю плотность шара с плотностью воды:

$0,777 \text{ г/см}^3 < 1 \text{ г/см}^3$, то есть $?_{ср} < ?_{воды}$.

Поскольку средняя плотность шара меньше плотности воды, шар будет плавать.

Ответ: да, шар с толщиной стенки 1,5 мм будет плавать в воде.