Номер 550, страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

550. В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен α. Образующая цилиндра равна l. Найдите объём шара.

Пусть $R$ — радиус шара, в который вписан цилиндр, а $V$ — объём этого шара. Высота (образующая) цилиндра по условию равна $l$.

Рассмотрим осевое сечение. Оно представляет собой прямоугольник (осевое сечение цилиндра), вписанный в большой круг (осевое сечение шара). Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $l$ и его диаметр $D_{цил}$.

Диагонали этого прямоугольника являются диаметрами шара, поэтому их длина равна $2R$. Они пересекаются в центре шара $O$. По условию, угол между диагоналями равен $\alpha$.

Диагонали прямоугольника при пересечении образуют две пары равных вертикальных углов. Одна пара углов лежит напротив сторон $l$, другая — напротив сторон $D_{цил}$. Будем считать, что $\alpha$ — это угол, лежащий напротив стороны $l$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами шара (половинами диагонали) и стороной прямоугольника, равной $l$. Стороны этого треугольника равны $R, R, l$, а угол при вершине, противолежащий основанию $l$, равен $\alpha$.

Проведём в этом треугольнике высоту из вершины $O$ к основанию $l$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенуза равна $R$, катет, противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$, равен $\frac{l}{2}$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике следует: $ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{l/2}{R} $

Выразим радиус шара $R$: $ R = \frac{l/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{l}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} $

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим в неё найденное выражение для $R$ и упростим: $ V = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{l}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} \right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{l^3}{8\sin^3(\frac{\alpha}{2})} = \frac{4\pi l^3}{24\sin^3(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi l^3}{6\sin^3(\frac{\alpha}{2})} $

Ответ: $V = \frac{\pi l^3}{6\sin^3(\frac{\alpha}{2})}$.