Номер 552, страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

552. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объём шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол α.

Пусть дана пирамида, вписанная в шар. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Обозначим вершины основания как A, B, C, где AB — гипотенуза, а S — вершина пирамиды.

Поскольку все боковые ребра пирамиды (SA, SB, SC) составляют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$, вершина пирамиды S проецируется в центр окружности, описанной около треугольника ABC. Обозначим эту проекцию как точку O. Таким образом, SO — высота пирамиды.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Следовательно, точка O — это середина гипотенузы AB. Радиус этой окружности $R_{осн}$ равен половине длины гипотенузы: $R_{осн} = OA = OB = OC = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA (угол $\angle SOA = 90^\circ$). Катет OA является радиусом описанной окружности основания, $OA = R_{осн} = 1$ см. Угол между боковым ребром SA и его проекцией OA равен $\alpha$ (то есть, $\angle SAO = \alpha$). Высоту пирамиды H можно найти из этого треугольника: $H = SO = OA \cdot \tan(\alpha) = 1 \cdot \tan(\alpha) = \tan(\alpha)$.

Центр шара, описанного около пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности. Это означает, что центр шара, обозначим его Q, лежит на прямой SO. Радиус шара $R$ равен расстоянию от его центра Q до любой из вершин пирамиды, например, $R = QA = QS$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник QOA. По теореме Пифагора: $QA^2 = QO^2 + OA^2$. Расстояние QS также равно $R$. Так как точки S, Q, O лежат на одной прямой, то $QS = |SO - QO| = |H - QO|$. Получаем систему уравнений для нахождения радиуса шара $R$: $R^2 = QO^2 + R_{осн}^2$ $R = |H - QO|$ Возведя второе уравнение в квадрат и подставив $H = \tan(\alpha)$ и $R_{осн} = 1$, получаем: $R^2 = (H - QO)^2 = H^2 - 2H \cdot QO + QO^2$ Из первого уравнения $QO^2 = R^2 - R_{осн}^2 = R^2 - 1$. Подставив $QO^2$ и выразив $QO$ из второго уравнения ($QO = H-R$, если $Q$ между $S$ и $O$), получим: $2HR = H^2 + R_{осн}^2$ $R = \frac{H^2 + R_{осн}^2}{2H} = \frac{\tan^2(\alpha) + 1^2}{2\tan(\alpha)} = \frac{\tan^2(\alpha) + 1}{2\tan(\alpha)}$ Применим тригонометрические тождества $1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ и $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$: $R = \frac{1/\cos^2(\alpha)}{2\sin(\alpha)/\cos(\alpha)} = \frac{1}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$ Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, находим радиус шара: $R = \frac{1}{\sin(2\alpha)}$

Площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$. Подставив найденное значение радиуса $R$, получим: $S_{шара} = 4\pi \left(\frac{1}{\sin(2\alpha)}\right)^2 = \frac{4\pi}{\sin^2(2\alpha)}$ см$^2$.
Ответ: $\frac{4\pi}{\sin^2(2\alpha)}$ см$^2$.

Объём шара

Объём шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставив найденное значение радиуса $R$, получим: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{\sin(2\alpha)}\right)^3 = \frac{4\pi}{3\sin^3(2\alpha)}$ см$^3$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3\sin^3(2\alpha)}$ см$^3$.