Номер 555, страница 141 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

555. Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объём и какое — наименьший?

Для решения задачи необходимо выразить объём ($V$) каждой из четырёх фигур через их площадь полной поверхности ($S$), которая по условию одинакова для всех. Затем мы сравним полученные выражения для объёмов.

Куб

Пусть $a$ — длина ребра куба.
Площадь поверхности куба: $S = 6a^2$.
Объём куба: $V_{куб} = a^3$.
Из формулы для площади поверхности выразим $a$: $a = \sqrt{\frac{S}{6}}$.
Подставим это выражение в формулу для объёма:
$V_{куб} = \left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^3 = \left(\frac{S}{6}\right)^{3/2} = \frac{S\sqrt{S}}{6\sqrt{6}} = \frac{S^{3/2}}{\sqrt{216}}$.

Шар

Пусть $R$ — радиус шара.
Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$.
Объём шара: $V_{шар} = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Из формулы для площади поверхности выразим $R$: $R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$.
Подставим это выражение в формулу для объёма:
$V_{шар} = \frac{4}{3}\pi \left(\sqrt{\frac{S}{4\pi}}\right)^3 = \frac{4\pi}{3} \left(\frac{S}{4\pi}\right)^{3/2} = \frac{4\pi S^{3/2}}{3 \cdot (4\pi)^{3/2}} = \frac{4\pi S^{3/2}}{3 \cdot 8\pi\sqrt{\pi}} = \frac{S^{3/2}}{6\sqrt{\pi}} = \frac{S^{3/2}}{\sqrt{36\pi}}$.

Цилиндр

Пусть $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра. По условию, диаметр основания равен высоте, то есть $h = 2r$.
Площадь полной поверхности цилиндра: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$. Подставляя $h=2r$, получаем: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 6\pi r^2$.
Объём цилиндра: $V_{цил} = \pi r^2 h$. Подставляя $h=2r$, получаем: $V_{цил} = \pi r^2(2r) = 2\pi r^3$.
Из формулы для площади поверхности выразим $r$: $r = \sqrt{\frac{S}{6\pi}}$.
Подставим это выражение в формулу для объёма:
$V_{цил} = 2\pi \left(\sqrt{\frac{S}{6\pi}}\right)^3 = 2\pi \left(\frac{S}{6\pi}\right)^{3/2} = \frac{2\pi S^{3/2}}{(6\pi)^{3/2}} = \frac{2\pi S^{3/2}}{6\pi\sqrt{6\pi}} = \frac{S^{3/2}}{3\sqrt{6\pi}} = \frac{S^{3/2}}{\sqrt{54\pi}}$.

Конус

Пусть $r$ — радиус основания, $h$ — высота, а $l$ — образующая конуса. По условию, $h=2r$.
Образующую $l$ найдём по теореме Пифагора: $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$.
Площадь полной поверхности конуса: $S = \pi r^2 + \pi r l$. Подставляя $l=r\sqrt{5}$, получаем: $S = \pi r^2 + \pi r(r\sqrt{5}) = \pi r^2(1+\sqrt{5})$.
Объём конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставляя $h=2r$, получаем: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2(2r) = \frac{2}{3}\pi r^3$.
Из формулы для площади поверхности выразим $r$: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi(1+\sqrt{5})}}$.
Подставим это выражение в формулу для объёма:
$V_{кон} = \frac{2}{3}\pi \left(\sqrt{\frac{S}{\pi(1+\sqrt{5})}}\right)^3 = \frac{2\pi}{3} \left(\frac{S}{\pi(1+\sqrt{5})}\right)^{3/2} = \frac{2\pi S^{3/2}}{3(\pi(1+\sqrt{5}))^{3/2}} = \frac{2 S^{3/2}}{3(1+\sqrt{5})\sqrt{\pi(1+\sqrt{5})}} = \frac{S^{3/2}}{\sqrt{\frac{9\pi(1+\sqrt{5})^3}{4}}}$.

Сравнение объёмов

Мы выразили объём каждой фигуры в виде $V \sim \frac{1}{\sqrt{D}} S^{3/2}$, где $D$ — некоторое число. Чтобы сравнить объёмы, нам нужно сравнить знаменатели: чем меньше знаменатель $D$, тем больше объём. Сравним значения $D$ (квадраты знаменателей) для каждой фигуры:
- Для куба: $D_{куб} = 216$
- Для шара: $D_{шар} = 36\pi \approx 36 \cdot 3.1416 \approx 113.1$
- Для цилиндра: $D_{цил} = 54\pi \approx 54 \cdot 3.1416 \approx 169.6$
- Для конуса: $D_{кон} = \frac{9\pi(1+\sqrt{5})^3}{4} = 18\pi(2+\sqrt{5}) \approx 18 \cdot 3.1416 \cdot (2+2.236) \approx 239.5$

Расположим значения $D$ в порядке возрастания:
$D_{шар} < D_{цил} < D_{куб} < D_{кон}$
$113.1 < 169.6 < 216 < 239.5$
Это соответствует следующему соотношению для объёмов (в порядке убывания):
$V_{шар} > V_{цил} > V_{куб} > V_{кон}$

Таким образом, при одинаковой площади поверхности наибольший объём имеет шар, а наименьший — конус.
Ответ: Наибольший объём имеет шар, а наименьший — конус.