Номер 562, страница 144 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

562. Известно, что AA₁ = BB₁ Как расположены по отношению друг к другу:

а) прямые AB и A₁B₁;

б) прямая AB и плоскость, проходящая через точки A₁ и В₁;

в) плоскости, одна из которых проходит через точки А и В, а другая проходит через точки А₁ и В₁?

По условию дано векторное равенство $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}$. Это равенство означает, что векторы $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{BB_1}$ коллинеарны (параллельны или лежат на одной прямой), сонаправлены и равны по длине. Рассмотрим это равенство в координатной форме. Пусть точки имеют координаты $A(x_A, y_A, z_A)$, $A_1(x_{A1}, y_{A1}, z_{A1})$, $B(x_B, y_B, z_B)$ и $B_1(x_{B1}, y_{B1}, z_{B1})$. Тогда равенство векторов $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}$ означает:

$x_{A1} - x_A = x_{B1} - x_B$
$y_{A1} - y_A = y_{B1} - y_B$
$z_{A1} - z_A = z_{B1} - z_B$

Перегруппировав слагаемые, получим:

$x_B - x_A = x_{B1} - x_{A1}$
$y_B - y_A = y_{B1} - y_{A1}$
$z_B - z_A = z_{B1} - z_{A1}$

Это координатная запись векторного равенства $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$. Таким образом, из условия $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}$ следует, что $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$. Это означает, что четырехугольник $ABB_1A_1$ является параллелограммом (возможно, вырожденным, если все четыре точки лежат на одной прямой). На основе этого вывода ответим на поставленные вопросы.

а) прямые $AB$ и $A_1B_1$;

Из равенства векторов $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$ следует, что эти векторы коллинеарны и имеют одинаковую длину. Коллинеарность векторов означает, что прямые, на которых они лежат, либо параллельны, либо совпадают.

• Если точки $A, B, A_1$ не лежат на одной прямой, то $ABB_1A_1$ — это параллелограмм, и его противоположные стороны $AB$ и $A_1B_1$ лежат на параллельных прямых.
• Если точки $A, B, A_1$ лежат на одной прямой, то из равенства $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1}$ следует, что и точка $B_1$ лежит на той же прямой. В этом случае прямые $AB$ и $A_1B_1$ совпадают.

Ответ: Прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны или совпадают.

б) прямая $AB$ и плоскость, проходящая через точки $A_1$ и $B_1$;

Пусть $\alpha$ — любая плоскость, проходящая через точки $A_1$ и $B_1$. Это означает, что прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$. Как мы установили, прямая $AB$ либо параллельна прямой $A_1B_1$, либо совпадает с ней.

• Если прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$ ($AB \parallel A_1B_1$), то, согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AB$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней. Она будет лежать в плоскости $\alpha$, если сама плоскость $\alpha$ является плоскостью, содержащей обе параллельные прямые $AB$ и $A_1B_1$.
• Если прямая $AB$ совпадает с прямой $A_1B_1$, то, поскольку $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $AB$ также лежит в плоскости $\alpha$.

В обоих случаях прямая $AB$ не может пересекать плоскость $\alpha$ в одной точке. Она либо параллельна ей, либо целиком принадлежит ей.

Ответ: Прямая $AB$ параллельна плоскости, проходящей через точки $A_1$ и $B_1$, или лежит в этой плоскости.

в) плоскости, одна из которых проходит через точки $A$ и $B$, а другая проходит через точки $A_1$ и $B_1$?

Пусть плоскость $\alpha$ проходит через точки $A$ и $B$ (т.е. содержит прямую $AB$), а плоскость $\beta$ проходит через точки $A_1$ и $B_1$ (т.е. содержит прямую $A_1B_1$). Мы знаем, что прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны или совпадают.

• Если прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны ($AB \parallel A_1B_1$), то две плоскости $\alpha$ и $\beta$, содержащие эти прямые, могут быть параллельны друг другу. Также они могут пересекаться. В случае пересечения их линия пересечения будет параллельна прямым $AB$ и $A_1B_1$. Частным случаем пересечения является совпадение плоскостей.
• Если прямые $AB$ и $A_1B_1$ совпадают, то обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через одну и ту же прямую. Две плоскости, проходящие через одну прямую, либо совпадают, либо пересекаются по этой прямой. Они не могут быть параллельными и различными.

Объединяя оба случая, можно сделать вывод, что плоскости могут быть параллельны или пересекаться.

Ответ: Плоскости могут быть параллельны или могут пересекаться.