Номер 567, страница 148 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

567. Нарисуйте параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и обозначьте векторы C₁D₁, BA₁, AD соответственно через a, b, c. Изобразите на рисунке векторы:

Сначала нарисуем параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и обозначим на нем заданные векторы. По условию задачи, $\vec{a} = \overrightarrow{C_1D_1}$, $\vec{b} = \overrightarrow{BA_1}$ и $\vec{c} = \overrightarrow{AD}$.

Для решения задачи выразим некоторые ключевые векторы параллелепипеда через заданные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
1. Из свойств параллелепипеда известно, что параллельные ребра равны и сонаправлены, поэтому $\overrightarrow{C_1D_1} = \overrightarrow{B_1A_1} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$. Следовательно, $\vec{a} = \overrightarrow{BA}$.
2. Аналогично, $\vec{c} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{A_1D_1} = \overrightarrow{B_1C_1}$.
3. Рассмотрим вектор $\vec{b} = \overrightarrow{BA_1}$. По правилу треугольника для сложения векторов, $\overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA_1}$. Подставляя $\vec{a} = \overrightarrow{BA}$, получаем $\vec{b} = \vec{a} + \overrightarrow{AA_1}$. Отсюда можно выразить вектор бокового ребра: $\overrightarrow{AA_1} = \vec{b} - \vec{a}$.
Теперь найдем требуемые векторы.

а) Найдем вектор $\vec{a} - \vec{b}$. Исходя из того, что $\overrightarrow{AA_1} = \vec{b} - \vec{a}$, мы можем записать: $\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a}) = -\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1A}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{A_1A}$.

б) Найдем вектор $\vec{a} - \vec{c}$. Воспользуемся равенствами $\vec{a} = \overrightarrow{BA}$ и $\vec{c} = \overrightarrow{BC}$. Тогда разность векторов $\vec{a} - \vec{c} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}$. По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало, эта разность равна вектору, соединяющему их концы и направленному от конца вычитаемого к концу уменьшаемого: $\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{c} = \overrightarrow{CA}$.

в) Найдем вектор $\vec{b} - \vec{a}$. Как мы уже установили ранее при анализе векторов, $\overrightarrow{AA_1} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{b} - \vec{a} = \overrightarrow{AA_1}$.

г) Найдем вектор $\vec{c} - \vec{b}$. Рассмотрим диагональ $\overrightarrow{A_1C}$. По правилу сложения векторов (правило многоугольника): $\overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. Выразим векторы в правой части через $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Мы знаем, что $\overrightarrow{A_1A} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$, $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{c}$. Подставим эти выражения: $\overrightarrow{A_1C} = (\vec{a} - \vec{b}) + (-\vec{a}) + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{a} + \vec{c} = \vec{c} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{c} - \vec{b} = \overrightarrow{A_1C}$.

д) Найдем вектор $\vec{c} - \vec{a}$. Этот вектор является противоположным вектору, найденному в пункте б): $\vec{c} - \vec{a} = -(\vec{a} - \vec{c}) = -\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC}$.
Ответ: $\vec{c} - \vec{a} = \overrightarrow{AC}$.