Номер 572, страница 149 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

572. Упростите выражение:

a)

Данное выражение: $\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{CA} + \vec{PQ} + \vec{NM}$.
Для упрощения воспользуемся свойствами сложения векторов. Сгруппируем слагаемые, используя коммутативный (переместительный) закон:
$(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) + (\vec{MN} + \vec{NM}) + \vec{PQ}$.
Рассмотрим первую группу $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA})$. По правилу треугольника (правило Шаля) сложения векторов, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Тогда выражение в скобках принимает вид: $\vec{AC} + \vec{CA}$.
Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ являются противоположными, так как они имеют равные длины и противоположные направления ($\vec{CA} = -\vec{AC}$). Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$.
Рассмотрим вторую группу $(\vec{MN} + \vec{NM})$. Аналогично, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{NM}$ противоположны, и их сумма равна нулевому вектору: $\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{0}$.
Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:
$\vec{0} + \vec{0} + \vec{PQ} = \vec{PQ}$.
Ответ: $\vec{PQ}$

б)

Данное выражение: $\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF}$.
Переставим слагаемые таким образом, чтобы конец каждого предыдущего вектора совпадал с началом следующего, чтобы применить правило многоугольника:
$\vec{AM} + \vec{MQ} + \vec{QK} + \vec{KP} + \vec{PF} + \vec{FK}$.
Теперь последовательно сложим векторы:
$\vec{AM} + \vec{MQ} = \vec{AQ}$
$\vec{AQ} + \vec{QK} = \vec{AK}$
$\vec{AK} + \vec{KP} = \vec{AP}$
$\vec{AP} + \vec{PF} = \vec{AF}$
$\vec{AF} + \vec{FK} = \vec{AK}$
Сумма векторов, образующих ломаную линию, равна вектору, замыкающему эту ломаную, то есть вектору, идущему из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку последнего вектора (K).
Ответ: $\vec{AK}$

в)

Данное выражение: $\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{AC} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{CA} + \vec{MP}$.
Перегруппируем слагаемые для упрощения. Во-первых, заметим пару противоположных векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$. Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$.
Выражение примет вид: $\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{MP}$.
Теперь сгруппируем оставшиеся векторы по правилу многоугольника. Построим цепочку:
$(\vec{CD} + \vec{DF}) + (\vec{FK}) + (\vec{KM} + \vec{MP})$ - такая группировка не оптимальна. Построим единую цепь:
Соберем все векторы в одну цепь, начиная, например, с точки A. Хотя в выражении уже нет $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$, для наглядности вернем их и сгруппируем иначе: $(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DF} + \vec{FK} + \vec{KM} + \vec{MP}) + \vec{CA}$.
Сумма векторов в скобках по правилу многоугольника равна вектору, соединяющему начало первого (A) и конец последнего (P):
$\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DF} + \vec{FK} + \vec{KM} + \vec{MP} = \vec{AP}$.
Подставим это обратно в выражение:
$\vec{AP} + \vec{CA}$.
Поменяем слагаемые местами для удобства применения правила треугольника:
$\vec{CA} + \vec{AP} = \vec{CP}$.
Ответ: $\vec{CP}$

г)

Данное выражение: $\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM}$.
Сгруппируем слагаемые в пары противоположных векторов:
$(\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{CD} + \vec{DC}) + (\vec{MN} + \vec{NM})$.
Сумма двух противоположных векторов всегда равна нулевому вектору. Таким образом:
$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$
$\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$
$\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{0}$
Следовательно, все выражение равно сумме нулевых векторов:
$\vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$